Tablas de Verdad en Lógica Proposicional

Tablas de Verdad en Lógica Proposicional

Las tablas de verdad son una herramienta útil para representar y analizar las relaciones entre los elementos básicos de la lógica propositional. En general, se trata de matrices que contienen todas posibles combinaciones de valores booleanos (true o false) para un conjunto determinado de variables lógicas. Están diseñadas para ayudarnos a comprender cómo se relacionan estos valores al evaluar ciertas afirmaciones lógicas. La mayoría de tablas de verdad muestran cuatro filas que simbolizan todas las combinaciones posibles de dos variables (A), (B), etc., aunque es posible construir tablas con más columnas si se utilizan tres o más variables.

La lógica proposicional permite expresar ideas mediante declarativas llamadas propuestas o enunciados. Una frase simple puede ser considerada como una proposición lógica, ya sea porque ella misma es un enunciado verdadero o falso, es decir, su verdad o falsedad está bien definida, o porque podemos derivar sus verdaderes o falsedades por medio del razonamiento deductivo, basándose en el conocimiento bien establecido. Para decirlo más claramente, una proposición es true cuando se cumple con alguna condition; y es falso siempre que no hay condiciones de verdad. Por lo tanto, muchas propuestas tienen ambas propiedades, pues pueden producirse situaciones en las cuales no cumplen su condición de veridad, pero también pueden hacerlo en otras circunstancias.

En cuanto a los operadores lógicos, algunos de los más comunes incluyen AND ((\land)), OR ((\lor)) y NOT ((\neg)). A continuación, encontramos un ejemplo de cada uno:

[ \begin{align*} &A\text{ }AND\text{ } B = \left{\begin{array}{ll} True & si\text{ } A=True\text{ y } B=True \ False & en caso contrario\ \end{array}\right. \ &A\text{ }OR\text{ } B = \left{\begin{array}{ll} True & si\text{ } A=False\text{ }\text{ ó } B=True \ True & si\text{ } A=True\text{ y } B=True \ False & en caso contrario\ \end{array}\right. \ &Not\text{ } A = \left{\begin{array}{ll} True & si\text{ } A=False \ False & si\text{ } A=True \ \end{array}\right. \ \end{align*}\ ]

Estos operadores permiten crear afirmaciones complejas a partir de otros problemas fundamentales. Los signos menos usuales en esta lista, como NOR y XOR, pueden resolverse por separado, reemplazando sus componentes en términos de AND y OR. Las reglas que rigen las circunscripciones, tales como el principio del tercero excluido y el principio del cuarto incluido, aplicarseal igual manera que con AND y OR.

Por otro lado, los conectivos lógicos, como (\forall) y (\exists), también influyen sobre la composición acotada. El símbolo (\forall) significa 'para todos' y existe en forma de afirmativa compuidas que implica que todo el grupo especificado tiene las mismas características. Por su parte, el símbolo (\exists), que significa 'existe', indica que al menjot norma, el grupo específico es solo parcialmente homogéneo.

Finalmente, la interpretación de las tablas de verdad consiste en mapear el valor verdadero o falso de las entradas a las salidas para determinar la función proposicional correspondiente. Cada variable puede tomar un valor verdadero o falso, y la función proposicional evalúa las entradas y calcula el resultado final. Es importante recordar que al utilizar tablas de verdad, se busca evitar fallos lógicos y lenguaje ambiguo que pueda confundir nuestro razonamiento lógico.

Para ilustrar este concepto, tenemos dos ejemplos de tablas de verdad:

Esta primera tabla es un ejemplo simple donde cada entrada constituye un conjunto distinto de 2 valores y la columna de salida da los valores correctos según las reglas del operador AND (denominado AB). La segunda tabla de verdad es similar, excepto que ahora el operador es OR (denominado A+B):

Siguiendo las reglas arriba mencionadas, podrías pensar rápidamente que A+B es igual a AB, pero tal afirmación es incorrecta, ya que "A+B" también se refiere a los casos donde A es verdadero y B es falso, mientras que "AB" sólo nos dice que ambas variables son verdaderas. Aunque pueden parecer obvios en retrospectiva, es importante manejarlos con precisión para obtener resultados correctos.