تعريف الدالة وأنواعها

تعريف الدالة

• العلاقة هي ارتباط بين عناصر مجموعة ما بعناصر مجموعة أخرى.
• الدالة هي نوع من العلاقات بين عنصرين، حيث يرتبط كل عنصر في المجموعة الأولى بعنصر واحد فقط في المجموعة الثانية.
• لا تُعدّ العلاقة دالة إذا ارتبط عنصر واحد في المجموعة الأولى بأكثر من عنصر في المجموعة الثانية.
• تُسمى العلاقة التي تُحقق شرط ارتباط كل عنصر بمجموعة أولى بعنصر واحد فقط من المجموعة الثانية بالدالة.

أنواع الدوال

• دالة واحد لواحد: يرتبط كل عنصر في المجموعة الأولى بعنصر واحد فقط من المجموعة الثانية، لا يرتبط عنصران مختلفان في المجموعة الأولى بنفس العنصر في المجموعة الثانية.
• دالة متعدد لواحد: يرتبط أكثر من عنصر في المجموعة الأولى بنفس العنصر في المجموعة الثانية.
• العلاقة واحد لمتعدد: يرتبط عنصر واحد في المجموعة الأولى بعدة عناصر في المجموعة الثانية، لا تُعدّ هذه العلاقة دالة.

اختبار الخط الرأسي

• اختبار الخط الرأسي هو طريقة لتحديد ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة.
• إذا قطع خط رأسي الرسم البياني للعلاقة في نقطتين أو أكثر، فإن هذه العلاقة ليست دالة.
• إذا قطع خط رأسي الرسم البياني للعلاقة في نقطة واحدة فقط، فإن هذه العلاقة تمثل دالة.
• الدوال الخطية هي دائماً دالة واحد لواحد.
• الدوال التربيعية هي دائماً دالة متعدد لواحد على المجال ح (مجموعة الأعداد الحقيقية).

مجال الدالة

• مجال الدالة هو مجموعة القيم المسموح بها كمدخلات للدالة.
• مجال الدالة الخطية هو ح (مجموعة الأعداد الحقيقية).
• مجال الدالة التربيعية هو ح (مجموعة الأعداد الحقيقية).

مدى الدالة

• مدى الدالة هو مجموعة القيم التي يمكن أن تنتج من الدالة.
• مدى الدالة الخطية هو ح (مجموعة الأعداد الحقيقية).
• مدى الدالة التربيعية هي مجموعة الأعداد الحقيقية التي تكون أكبر من أو تساوي قيمة الحد الأدنى للرسوم البيانية للدالة.

تمارين الدوال

• يجب تحديد ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا، وحدد نوعها (واحد لواحد أو متعدد لواحد) باستخدام اختبار الخط الرأسي.
• يمكن استخدام برامج الرسم البياني لتحديد نوع الدالة.
• يمكن استخدام الرسوم البيانية لتحديد مجال ومدى الدالة.
• يجب تحديد مدى الدالة الخطية والتربيعية باستخدام المعادلة والمنحنى.
• يجب كتابة الدالة التربيعية في صورة a(x+b)^2+ c، وذلك لتحديد راس المنحنى، والمجال، والمدى.

### حل المعادلة التربيعية

• يتم حل المعادلة التربيعية بالاستفادة من القانون العام للنظرية: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
• معرفة راس المنحنى: $y = ax^2 + bx + c$،
  • يتم تحديد راس المنحنى باستخدام $-b/2a$
  • وهي قيمة س في راس المنحنى
  • و $y$ هي قيمة ص في راس المنحنى
• تحديد اتجاه المنحنى
  • المنحنى يتم فتحه للاعلى إذا كان $a > 0$
  • و يتم فتحه لاسفل إذا كان $a < 0$
  • المدى هو مجموعة قيم $y$ في المنحنى

مثال على الحل

• دالة هي $y= x^2 - 2x - 3$
• تحديد راس المنحنى:
  • $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1$
  • $y = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$
  • راس المنحنى هو $(1,-4)$
• اتجاه المنحنى:
  • $a = 1$
  • فـ المنحنى يفتح للأعلى.

المثال الثاني

• دالة هي $y = x^2 + 6x + k$
• تحديد راس المنحنى:
  • $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(1)} = -3$
  • $y = (-3)^2 + 6(-3) + k = -9 + k$
  • راس المنحنى هو $(-3,-9+k)$
  • المدى هو $y > -9 + k$ (بسبب فتح المنحنى لأعلى)

حل المعادلات التربيعية

• معالجة معادلة بالشكل $ax^2 + bx + c = y$
  • يتم حل قيمة $y$ أولاً
  • ثم يتم تحديد راس المنحنى
  • ثم تحديد اتجاه المنحنى
  • ثم حل للقيم المطلوبة.
• الهدف من حل المعادلة هو التوصل إلى قيمة س
  • يتم حل المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$
  • يتم تعويض قيمة $y$ بما هو مطلوب
  • ثم تحديد قيمة $x$ في $ax^2 + bx + c = 0$

مثال على حل المعادلات التربيعية

• دالة هي $y = x^ 2 - 2x - 3$
  • راس المنحنى $(1, -4)$
  • $x^ 2 - 2x - 3 = 5$
  • $x^ 2 - 2x - 8 = 0$

  • تحليل  $x^ 2 - 2x - 8 = (x-4) (x + 2)$
    

  • $x = 4$ أو $x = -2$ . يتم إختيار القيم $x$ التي تُعطينا $y=5$. بما أن $y=5$ فإن $x = 4$ أو $x = -2$
    • $x= -2 $ يقع على المنحنى
    • $x= 4 $ يتجاوز مدى المنحنى

حل مشكلات

• عند مواجهة مشكلات في حل المعادلات التربيعية
  • تذكر دائماً صيغة $ax^2 + bx + c = 0$
  • $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
  • تذكر كيفية التعامل مع راس المنحنى
  • تذكر كيفية حل المعادلات لـ $y$ و لـ $x$.
  • تذكر كيفية تحديد المدى $y$ .

هذا الاختبار يتعلق بفهم الدوال وعلاقتها بمجموعة من العناصر. ستتعرف على تعريف الدالة وأنواعها المختلفة مثل الدالة واحد لواحد والدالة متعدد لواحد. بالإضافة إلى ذلك، سيتم مناقشة اختبار الخط الرأسي لتحديد ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة.