Geometria ja alueet

Yleistä

• Taajuusvaste on keskeinen käsite järjestelmien analyysissä ja suunnittelussa.
• Se kuvaa, miten järjestelmä reagoi eri taajuuksilla.
• Käydään läpi taajuusvasteen mittaaminen siniaaltojen avulla.

Siirtofunktiot

• Aikaisemmin lineaaristen ja aika-invarianttien (LTI) järjestelmien impulssivaste $h(t)$ määrittää järjestelmän täysin.
• Impulssivasteen Laplace-muunnos $H(s)$ on järjestelmän siirtofunktio: $Y(s) = H(s)X(s)$.
• On laskettu, miten $H(s)$ määritetään piireille, joissa on vastuksia, kondensaattoreita, induktoreita ja operaatiovahvistimia.

Taajuusvaste H(jw)

• Taajuusvaste $H(jw)$ on $H(s)$, kun $s=jw$.
• Se kertoo, miten järjestelmä reagoi eri tulotaajuuksilla.
• Se on määritetty vain stabiileille järjestelmille (kaikki $H(s)$:n navat vasemmalla puoliavaruudessa).

Siniaallot

• Siniaallot ovat tärkeitä, koska monet signaalit ovat siniaaltoja tai niitä voidaan approksimoida siniaalloilla.
• Vielä tärkeämpää on, että siniaallot ovat LTI-järjestelmien ominaisfunktioita.
• Ominaisfunktio: Jos järjestelmän tulo on ominaisfunktio, lähtö on vain skaalattu versio samasta ominaisfunktiosta, esimerkiksi $y(t) = 3x(t)$.

Siniaallot ominaisfunktioina

• Tarkastellaan tuloa $x(t) = cos(w_0t)$ järjestelmälle, jonka siirtofunktio on H(s). Tällöin $X(s) = \frac{s}{s^2 + w_0^2}$.
• Lähtö $y(t)$ voidaan löytää: $Y(s) = H(s)X(s) = H(s)\frac{s}{s^2 + w_0^2}$.
• Osamurtokehitelmän avulla $Y(s) = \frac{A}{s-jw_0} + \frac{A^*}{s+jw_0} + (\text{aines puolelta } H(s):n \text{ napoja})$.
• Jos $H(s)$ on stabiili, "aines" → 0, kun $t$ → ∞.
• Näin ollen, $y_{ss}(t) = Ae^{jw_0t} + A^*e^{-jw_0t}$, missä $A = [\frac{H(s)s}{s+jw_0}]_{s=jw_0} = \frac{H(jw_0)}{2}$.
• $y_{ss}(t) = \frac{H(jw_0)}{2}e^{jw_0t} + \frac{H(-jw_0)}{2}e^{-jw_0t}$
• Koska $H(jw)$ on kompleksinen, se voidaan kirjoittaa napakoordinaatimuodossa: $H(jw) = |H(jw)|e^{j\phi(w)}$.
• $y_{ss}(t) = |H(jw_0)|cos(w_0t + \phi(w_0))$

Vaste vakiotilassa tulolle $cos(w_0t)$

• Vaste vakiotilassa on kosini samalla taajuudella ($w_0$) kuin tulo.
• Lähdön suuruus on tulon suuruus kerrottuna $|H(jw_0)|$.
• Lähdön vaihe on tulon vaihe plus $\phi(w_0)$.
• Tämä pätee vain vakiotilassa.

Esimerkki

• Siirtofunktio $H(s) = \frac{1}{s+1}$.
• Taajuusvaste on $H(jw) = \frac{1}{jw+1}$.
• Taajuusvasteen suuruus on $|H(jw)| = |\frac{1}{jw+1}| = \frac{1}{\sqrt{w^2+1}}$.
• Taajuusvasteen vaihe on $\angle H(jw) = \angle \frac{1}{jw+1} = -arctan(w)$.

Taajuusvasteen mittaaminen

• Taajuusvaste voidaan mitata kokeellisesti.
• Syötetään siniaalto tuloon, odotetaan vakiotilaa ja mitataan lähdön suuruus ja vaihe.
• Toistetaan monilla eri taajuuksilla.
• Ongelma: Tämä on hidasta.

"Swept-Sine"

• Nopeampi tapa mitata taajuusvastetta on käyttää "pyyhkäisysiniaaltoa": $x(t) = cos(w(t)t)$, jossa $w(t)$ kasvaa tai pienenee lineaarisesti ajan suhteen.
• Tämä signaali sisältää lähes kaikki taajuudet $w_{min}$ ja $w_{max}$ välillä.
• Mittaamalla lähdön suuruutta ja vaihetta voidaan arvioida $|H(jw)|$ ja $\angle H(jw)$ välillä $w_{min} < w < w_{max}$.

Esimerkki

• Tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun alipäästösuodatinta: $H(s) = \frac{1}{s+1}$.
• Syötetään pyyhkäisysiniaalto 0.1 rad/s - 10 rad/s välillä.
• Taajuusvasteen suuruus voidaan piirtää desibeleinä: $|H(jw)|{dB} = 20log{10}|H(jw)|$.
• Taajuusvasteen vaihe asteina: $\angle H(jw)$.

Matlab

• On olemassa Matlab-koodi, joka tuotti nämä kuvaajat, jota voidaan käyttää robotin (tai minkä tahansa muun järjestelmän) taajuusvasteen mittaamiseen.
• Seuraavaksi tarkastellaan taajuusvasteiden approksimointia Bode-diagrammien avulla.