Systèmes d'équations linéaires

Introduction aux systèmes d'équations linéaires

• Deux droites, D₁ et D₂, sont définies par les équations ax + by = c et a'x + b'y = c' respectivement.
• Le problème fondamental est de trouver l'ensemble d'intersection D₁ ∩ D₂, ce qui revient à identifier les points (x, y) qui satisfont simultanément les deux équations.
• Les solutions possibles sont: une solution unique lorsque les droites se coupent en un seul point, une infinité de solutions si les droites sont identiques, ou aucune solution si les droites sont parallèles mais distinctes.
• Une équation linéaire avec p inconnues a la forme a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₚxₚ = b₁, où les aᵢⱼ sont les coefficients et les xᵢ sont les inconnues. b₁ est le terme constant.
• Un système linéaire de n équations à p inconnues est un ensemble d'équations linéaires.
• Dans un tel système, les aᵢⱼ représentent les coefficients, les xⱼ sont les inconnues, et les bᵢ sont les termes constants.
• Un système linéaire peut être exprimé sous forme matricielle comme AX = b, où A est la matrice des coefficients, X est le vecteur des inconnues, et b est le vecteur des termes constants.
• Un système linéaire est homogène si son second membre est le vecteur nul.
• Un système linéaire est dit compatible et déterminé s'il admet une unique solution.
• Il est dit compatible et sous-déterminé s'il admet une infinité de solutions.
• Il est dit incompatible s'il n'admet aucune solution.
• La méthode classique de substitution peut être utilisée pour résoudre tout système d'équations linéaires.

Méthode d'élimination de Gauss

• Une matrice est sous forme échelonnée si les lignes nulles sont en bas, chaque pivot (premier élément non nul) est strictement à droite du pivot de la ligne précédente, chaque pivot est égal à 1 et sous chaque pivot, la colonne ne contient que des zéros.
• La méthode d'élimination de Gauss consiste à transformer le système d'équations linéaires en forme matricielle (AX = b).
• Transformer la matrice augmentée [A | b] en une forme échelonnée [A' | b'] en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes.
• Les opérations élémentaires comprennent l'échange de lignes, la multiplication d'une ligne par un scalaire non nul et l'addition d'un multiple d'une ligne à une autre.
• Cela conduit à un système équivalent A'X = b', où A' est sous forme échelonnée.
• Utiliser ensuite la substitution arrière pour résoudre le système A'X = b'.
• La méthode d'élimination de Gauss est une technique puissante applicable à tout système linéaire, permettant de trouver une solution unique, une infinité de solutions ou de déterminer qu'il n'y a aucune solution.

Méthode d'inversion matricielle

• Cette méthode implique d'écrire le système d'équations linéaires sous une forme matricielle : AX = b, où A est une matrice inversible.
• Calculer l'inverse de la matrice A, notée A⁻¹.
• La solution est obtenue en calculant X = A⁻¹B.
• Elle n'est applicable que si la matrice des coefficients A est carrée et inversible, ce qui garantit une solution unique.

Règle de Cramer

• La règle de Cramer consiste à écrire le système d'équations linéaires sous forme matricielle : AX = b, où A est une matrice inversible.
• Calculer les déterminants de A et des matrices Aᵢ, où Aᵢ est obtenue en remplaçant la i-ème colonne de A par le vecteur second membre b.
• La solution est donnée par X = (x₁, ..., xₙ) avec xᵢ = det(Aᵢ) / det(A) pour i = 1, ..., n.
• Elle est applicable uniquement aux systèmes linéaires où la matrice des coefficients A est carrée et inversible, ce qui garantit une solution unique.