Podcast
Questions and Answers
Какое из следующих утверждений является основным логарифмическим тождеством?
Какое из следующих утверждений является основным логарифмическим тождеством?
- $\log_a (b^c) = c \log_a b$
- $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$
- $a^{\log_a b} = b$ (correct)
- $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$
Что произойдет со знаком логарифма, если основание логарифма меньше единицы, а число больше единицы?
Что произойдет со знаком логарифма, если основание логарифма меньше единицы, а число больше единицы?
- Знак логарифма не изменится.
- Логарифм будет отрицательным. (correct)
- Логарифм будет положительным.
- Логарифм будет равен нулю.
При каких условиях выполняется равенство $\log_a bc = \log_a b + \log_a c$?
При каких условиях выполняется равенство $\log_a bc = \log_a b + \log_a c$?
- Только если b > 0 и c > 0. (correct)
- Только если b < 0 и c < 0.
- Если b и c одного знака (оба положительны или оба отрицательны).
- При любых значениях b и c, кроме нуля.
Какое из следующих выражений верно для вычисления $\log_a b$, используя новое основание c?
Какое из следующих выражений верно для вычисления $\log_a b$, используя новое основание c?
Если $a > 1$ и $b > c > 0$, то какое из следующих неравенств справедливо?
Если $a > 1$ и $b > c > 0$, то какое из следующих неравенств справедливо?
Какое равенство справедливо для логарифма степени числа, если основание логарифма равно a, число равно b, а степень равна c?
Какое равенство справедливо для логарифма степени числа, если основание логарифма равно a, число равно b, а степень равна c?
Что можно сказать о значениях $a$ и $b$, если известно, что $\log_a b < 0$?
Что можно сказать о значениях $a$ и $b$, если известно, что $\log_a b < 0$?
Какое из выражений эквивалентно выражению $\log_{a^c} b$, где с ≠ 0?
Какое из выражений эквивалентно выражению $\log_{a^c} b$, где с ≠ 0?
Как изменится знак $\log_a b$, если и число $b$, и основание $a$ одновременно станут меньше 1, но останутся положительными?
Как изменится знак $\log_a b$, если и число $b$, и основание $a$ одновременно станут меньше 1, но останутся положительными?
Если $0 < a < 1$ и $b > c > 0$, какое из следующих утверждений о сравнении логарифмов справедливо?
Если $0 < a < 1$ и $b > c > 0$, какое из следующих утверждений о сравнении логарифмов справедливо?
Допустим, у вас есть уравнение $a^x = b$. Что такое $x$?
Допустим, у вас есть уравнение $a^x = b$. Что такое $x$?
Какое из следующих равенств справедливо для $\log_a \frac{b}{c}$?
Какое из следующих равенств справедливо для $\log_a \frac{b}{c}$?
В каком случае $\log_a b$ будет положительным числом?
В каком случае $\log_a b$ будет положительным числом?
Что можно сказать о знаке $\log_a b$ если $a > 1$ и $0 < b < 1$?
Что можно сказать о знаке $\log_a b$ если $a > 1$ и $0 < b < 1$?
Какое из следующих свойств справедливо для любого допустимого основания $a$?
Какое из следующих свойств справедливо для любого допустимого основания $a$?
Предположим, что $\log_a b = x$. Как выразить $b$ через $a$ и $x$?
Предположим, что $\log_a b = x$. Как выразить $b$ через $a$ и $x$?
Как следует изменить формулу $\log_a(b^c) = c \log_a b$, если $b < 0$ и $c$ является четным числом?
Как следует изменить формулу $\log_a(b^c) = c \log_a b$, если $b < 0$ и $c$ является четным числом?
Вычислите: $\log_3 9 - \log_3 1/3$.
Вычислите: $\log_3 9 - \log_3 1/3$.
Если $\log_a b = 5$ и $\log_a c = 2$, чему равно $\log_a (b/c)$?
Если $\log_a b = 5$ и $\log_a c = 2$, чему равно $\log_a (b/c)$?
Вычислите $2^{\log_2 3 + \log_2 5}$.
Вычислите $2^{\log_2 3 + \log_2 5}$.
Flashcards
Что такое логарифм?
Что такое логарифм?
Логарифм числа b по основанию a — это такое число c, что a в степени c равно b.
Основное логарифмическое тождество
Основное логарифмическое тождество
Основное логарифмическое тождество показывает, что a в степени логарифма b по основанию a равно b.
Логарифм произведения
Логарифм произведения
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
Логарифм частного
Логарифм частного
Signup and view all the flashcards
Логарифм степени
Логарифм степени
Signup and view all the flashcards
Формула перехода к новому основанию
Формула перехода к новому основанию
Signup and view all the flashcards
Определение знака логарифма
Определение знака логарифма
Signup and view all the flashcards
Сравнение логарифмов
Сравнение логарифмов
Signup and view all the flashcards
Study Notes
Свойства логарифмов
- Уравнение вида ax = b, где a и b известные числа, а x — искомая величина.
- При a > 0 и a ≠ 1 показательная функция y = ax строго монотонна и принимает все возможные значения в интервале (0, ∞).
- При условиях a > 0, a ≠ 1, b > 0 уравнение ax = b имеет ровно один корень, который называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают loga b.
- Логарифмом числа b по основанию a называется такое число c, что ac = b, и пишут c = loga b.
- Основное логарифмическое тождество: aloga b = b.
- Из определения логарифма следует, что loga 1 = 0 и loga a = 1 для любого допустимого основания a.
- log3 9 = 2
- log9 (1/3) = -1/2
- log2 (2√2) = 3/2
Логарифм произведения и частного
- Теорема: Если выполняются условия a > 0, a ≠ 1, b > 0 и c > 0 (то есть существуют числа loga b и loga c), то существуют числа loga bc и loga (b/c) и справедливы равенства:
- loga bc = loga b + loga c
- loga (b/c) = loga b − loga c
- Числа loga bc и loga (b/c) существуют, поскольку a > 0, a ≠ 1 и bc > 0 и b/c > 0.
- Если ax = ay, то x = y, поэтому справедливо равенство loga bc = loga b + loga c.
- Левые части равенств определены и в случае, когда оба числа b и c отрицательны, так как в этом случае bc > 0 и b/c > 0.
- Формулы для отрицательных b и c:
- loga bc = loga |b| + loga |c|
- loga (b/c) = loga |b| − loga |c|
- В полученных равенствах b и c могут быть любыми действительными числами одного знака.
Логарифм степени
- Теорема: Если выполняются условия a > 0, a ≠ 1, b > 0 (то есть существует число loga b), то для любого действительного числа c существует число loga (bc) и справедливо равенство: loga (bc) = c loga b.
- Число b в любой степени положительно, следовательно, loga (bc) существует.
- Если c — чётное число, то левая часть равенства определена и при b < 0, так как в этом случае bc > 0. Правая часть в этом случае не определена.
- Формула для чётного c: loga (bc) = loga |b|c = c loga |b|.
- В полученном равенстве b может быть любым действительным числом, отличным от нуля.
Логарифм степени основания
- Теорема: Пусть выполняются условия (2) (то есть существует число loga b). Тогда для любого действительного числа c, отличного от нуля, существует число log(ac) b и справедливо равенство: log(ac) b = (1/c) loga b.
Переход к новому основанию
- loga b = log(ac) (bc), где c — любое действительное число, отличное от нуля.
- Теорема: Если выполняются условия (2) (то есть существует число loga b). Тогда для любого действительного числа c такого, что c > 0, c ≠ 1, существуют числа logc b и logc a и справедливо равенство: loga b = (logc b) / (logc a).
Определение знака логарифма
- Теорема: Если число и основание логарифма лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен. Если по разные стороны, то логарифм отрицателен.
Сравнение логарифмов
- Теорема: Если основание логарифма больше единицы, то большему числу отвечает больший логарифм, то есть, если a > 1 и b > c > 0, то loga b > loga c.
- Если основание логарифма меньше единицы, то большему числу отвечает меньший логарифм, то есть из 0 < a < 1 и b > c > 0 следует loga b < loga c.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
