Свойства и решения неравенств
8 Questions
0 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Сопоставьте свойства неравенств с их описаниями:

$a + c < b + c$ = Если $a < b$, то $a$ меньше, чем $b$ после прибавления $c$ $a imes c < b imes c$ при $c > 0$ = При положительном $c$, произведение остается в том же порядке $a imes c > b imes c$ при $c < 0$ = При отрицательном $c$, порядок меняется на противоположный $a - c < b - c$ = Если $a < b$, то $a$ меньше, чем $b$ после вычитания $c$

Сопоставьте шаги решения линейных неравенств с их описанием:

Переместить все члены на одну сторону = Упростить неравенство Упростить неравенство = Разделить на коэффициент при $x$ Разделить на коэффициент при $x$ = С учётом знака коэффициента Пример $2x - 4 < 0$ = $x < 2$

Сопоставьте квадратичные неравенства с их характеристиками:

$ax^2 + bx + c < 0$ = Требует нахождения корней $ax^2 + bx + c = 0$ Определить интервалы на числовой оси = Процесс нахождения решения неравенства Проверка знаков на интервалах = Помогает определить, где функция положительна или отрицательна $x^2 - 5x + 6 < 0$ = Решение: $2 < x < 3$

Сопоставьте тип неравенства с его графическим представлением:

<p>Линейные неравенства = График представляет собой прямую Область выше прямой = Соответствует решению неравенства $&gt;$ Пунктирная линия = Используется для &lt; и &gt; Квадратичные неравенства = График представляет собой параболу</p> Signup and view all the answers

Сопоставьте линейные неравенства с их графическим отображением:

<p>$ax + b &lt; 0$ = Область ниже прямой соответствует решению $ax + b eq 0$ = Линия представляет собой границу Сплошная линия = Используется для $ eq$ и $ eq$ Область выше прямой = Решение неравенства $&gt;$</p> Signup and view all the answers

Сопоставьте основные шаги решения квадратичных неравенств:

<p>Найти корни = Первый шаг в решении $ax^2 + bx + c = 0$ Определить интервалы = Второй шаг для нахождения решения Проверить знаки функции = Определить, где функция положительна или отрицательна Пример $x^2 - 5x + 6 &lt; 0$ = Значит, $2 &lt; x &lt; 3$</p> Signup and view all the answers

Сопоставьте правила применения неравенств с их условиями:

<p>$a &lt; b ightarrow a + c &lt; b + c$ = Для любого $c$ $a imes c &lt; b imes c$ при $c &gt; 0$ = Порядок не меняется $a imes c &gt; b imes c$ при $c &lt; 0$ = Порядок меняется на противоположный $a / c &lt; b / c$ при $c &gt; 0$ = За счёт деления на положительное число</p> Signup and view all the answers

Сопоставьте примеры линейных неравенств с правильными ответами:

<p>$2x - 4 &lt; 0$ = Ответ: $x &lt; 2$ $3x + 5 eq 0$ = График показывает область, исключающую ноль $x + 1 geq 3$ = Решение: $x &lt; 2$ $4x - 8 imes 2 &gt; 0$ = Ответ: $x &gt; 4$</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Свойства неравенств

  • Если ( a < b ), то:
    • ( a + c < b + c ) для любого ( c )
    • ( a - c < b - c ) для любого ( c )
    • ( a \cdot c < b \cdot c ) при ( c > 0 )
    • ( a \cdot c > b \cdot c ) при ( c < 0 )
    • ( \frac{a}{c} < \frac{b}{c} ) при ( c > 0 )
    • ( \frac{a}{c} > \frac{b}{c} ) при ( c < 0 )

Решение линейных неравенств

  • Общая форма: ( ax + b < 0 ), ( ax + b \geq 0 ), и т.д.
  • Основные шаги:
    1. Переместить все члены на одну сторону.
    2. Упростить неравенство.
    3. Разделить на коэффициент при ( x ) с учётом его знака.
  • Пример: ( 2x - 4 < 0 ) → ( 2x < 4 ) → ( x < 2 ).

Квадратичные неравенства

  • Общая форма: ( ax^2 + bx + c < 0 ), ( ax^2 + bx + c \geq 0 ).
  • Решение:
    1. Найти корни уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ).
    2. Определить интервалы на числовой оси.
    3. Проверить знак функции на каждом интервале.
  • Пример: Для ( x^2 - 5x + 6 < 0 ):
    1. Корни: ( x = 2, 3 ).
    2. Интервалы: ( (-\infty, 2) ), ( (2, 3) ), ( (3, +\infty) ).
    3. Проверка знаков ведёт к решению ( 2 < x < 3 ).

Графики неравенств

  • Линейные неравенства:

    • График представляет собой прямую.
    • Область выше (или ниже) прямой соответствует решению.
    • Линия пунктирная для < и >, сплошная для ≤ и ≥.
  • Квадратичные неравенства:

    • График представляет собой параболу.
    • Область выше (или ниже) параболы соответствует решению в зависимости от знака.
  • Для обоих типов неравенств, важно указывать, включены ли границы (круглая или квадратная точка на графике).

Свойства неравенств

  • Если ( a < b ), то добавление одного и того же числа ( c ) к обеим частям неравенства сохраняет его верность: ( a + c < b + c ).
  • Вычитание числа ( c ) также соблюдает эту закономерность: ( a - c < b - c ).
  • Умножение на положительное число ( c ) сохраняет знак неравенства: ( a \cdot c < b \cdot c ), при ( c > 0 ).
  • Однако, умножение на отрицательное число меняет знак неравенства: ( a \cdot c > b \cdot c ), при ( c < 0 ).
  • Деление на положительное число ( c ) также сохраняет неравенство: ( \frac{a}{c} < \frac{b}{c} ).
  • Деление на отрицательное число наоборот приводит к изменению неравенства: ( \frac{a}{c} > \frac{b}{c} ).

Решение линейных неравенств

  • Линейные неравенства принимают форму ( ax + b < 0 ) или ( ax + b \geq 0 ).
  • Этапы решения:
    • Перенести все члены неравенства на одну сторону.
    • Упростить полученное неравенство.
    • Разделить обе части на коэффициент ( a ), при этом учитывать знак этого коэффициента.
  • Пример: Для неравенства ( 2x - 4 < 0 ) выполняются шаги:
    • ( 2x < 4 )
    • ( x < 2 ).

Квадратичные неравенства

  • Общая форма квадратного неравенства: ( ax^2 + bx + c < 0 ) или ( ax^2 + bx + c \geq 0 ).
  • Решение включает следующие шаги:
    • Найти корни уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ).
    • Определить интервалы на числовой оси, которые определяются корнями.
    • Проверить знак функции в каждом из интервалов.
  • Пример: Для неравенства ( x^2 - 5x + 6 < 0 ):
    • Корни уравнения: ( x = 2, 3 ).
    • Определенные интервалы: ( (-\infty, 2) ), ( (2, 3) ), ( (3, +\infty) ).
    • Проверка знаков приводит к решению: ( 2 < x < 3 ).

Графики неравенств

  • Графики линейных неравенств:
    • Представляют собой прямые линии на координатной плоскости.
    • Область выше (или ниже) линии соответствует множеству решений.
    • Для неравенств < и > используются пунктирные линии, для ≤ и ≥ - сплошные линии.
  • Графики квадратичных неравенств:
    • Отображаются в виде парабол.
    • Область выше (или ниже) параболы определяет решение в зависимости от знака неравенства.
  • Важность графического представления: необходимо указывать, включены ли границы решения (использовать круглые или квадратные точки).

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Description

В этом тесте вы проверите свои знания о свойствах неравенств и методах их решения, включая линейные и квадратичные неравенства. Вам будут предложены различные примеры, чтобы оценить ваше понимание темы. Подготовьтесь к проверке ваших математических навыков!

More Like This

Use Quizgecko on...
Browser
Browser