Suma de vectores: métodos gráfico y analítico

Vectores

• Los vectores se pueden sumar mediante el método gráfico (polígono) o el método analítico (componentes).

Suma de vectores

Método gráfico (polígono)

• Para sumar vectores gráficamente, coloque los vectores uno tras otro, manteniendo su magnitud, dirección y sentido.
• El vector resultante une el origen del primer vector con el extremo del último vector.

Método analítico (componentes)

• Para sumar vectores analíticamente, descomponga cada vector en sus componentes rectangulares (ejes $x$ e $y$).
• Luego, sume las componentes correspondientes.

Componentes de un vector

• Las componentes de un vector $\vec{A}$ son $A_x = A \cos \theta$ y $A_y = A \sin \theta$.
  • $A$ es la magnitud del vector.
  • $\theta$ es el ángulo entre el vector y el eje $x$ positivo.

Suma de componentes

• La suma de las componentes en cada eje es:
  • $R_x = A_x + B_x + C_x + \dots$
  • $R_y = A_y + B_y + C_y + \dots$
    • $R_x$ es la componente en el eje $x$ del vector resultante.
    • $R_y$ es la componente en el eje $y$ del vector resultante.

Magnitud y dirección del vector resultante

• La magnitud del vector resultante es $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$.
• La dirección del vector resultante es $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{R_y}{R_x} \right)$.

Producto de vectores

• Existen dos tipos de productos entre vectores: el producto escalar (punto) y el producto vectorial (cruz).

Producto escalar (punto)

• El producto escalar de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se define como $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$.
  • $A$ es la magnitud del vector $\vec{A}$.
  • $B$ es la magnitud del vector $\vec{B}$.
  • $\theta$ es el ángulo entre los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$.
• El resultado del producto escalar es un escalar.

Propiedades del producto escalar

• Conmutativa: $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$.
• Distributiva: $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$.
• Si $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ y $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son diferentes de cero, entonces $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son perpendiculares.
• $\vec{A} \cdot \vec{A} = A^2$.

Producto vectorial (cruz)

• El producto vectorial de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se define como un vector $\vec{C}$ cuya magnitud es $C = AB \sin \theta$.
• $A$ es la magnitud del vector $\vec{A}$.
• $B$ es la magnitud del vector $\vec{B}$.
• $\theta$ es el ángulo entre los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$.
• La dirección del vector $\vec{C}$ es perpendicular al plano formado por $\vec{A}$ y $\vec{B}$. El sentido se determina por la regla de la mano derecha.
• El resultado del producto vectorial es un vector.

Propiedades del producto vectorial

• No es conmutativo: $\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$.

• Distributiva: $\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$.

• Si $\vec{A} \times \vec{B} = 0$ y $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son diferentes de cero, entonces $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son paralelos.

• $\vec{A} \times \vec{A} = 0$