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Questions and Answers
Cosa definisce una 'misura esterna' secondo la definizione 1.1?
Cosa definisce una 'misura esterna' secondo la definizione 1.1?
- Una mappa ϕ che assegna un valore compreso tra 0 e 1 agli insiemi di X
- Una mappa ϕ che assegna un valore compreso tra 1 e +∞ agli insiemi di X
- Una mappa ϕ che assegna un valore compreso tra 0 e +∞ agli insiemi di X (correct)
- Una mappa ϕ che assegna un valore compreso tra 0 e -∞ agli insiemi di X
Quale affermazione è vera riguardo all'esempio 1.1 della misura esterna?
Quale affermazione è vera riguardo all'esempio 1.1 della misura esterna?
- Se X contiene almeno due elementi a, b, allora ϕ({a} ∪ {b}) = 2
- Se X contiene almeno due elementi a, b, allora ϕ({a} ∪ {b}) = ∞
- Se X contiene almeno due elementi a, b, allora ϕ({a} ∪ {b}) = 0
- Se X contiene almeno due elementi a, b, allora ϕ({a} ∪ {b}) = ϕ({a}) = ϕ({b}) = 1 (correct)
Qual è l'esempio 1.3 della misura esterna?
Qual è l'esempio 1.3 della misura esterna?
- Misura superiore di Peano-Jordan
- Misura esterna di Dirac (correct)
- Misura di Peano-Jordan
- Misura inferiore di Peano-Jordan
Cosa definisce un insieme E ∈ 2 X 'misurabile (rispetto alla misura esterna ϕ su X)' secondo la definizione 1.2?
Cosa definisce un insieme E ∈ 2 X 'misurabile (rispetto alla misura esterna ϕ su X)' secondo la definizione 1.2?
Quali delle seguenti affermazioni è corretta secondo l'osservazione 1.1?
Quali delle seguenti affermazioni è corretta secondo l'osservazione 1.1?
Secondo il Teorema 1.1, quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo alla misura esterna ϕ su X?
Secondo il Teorema 1.1, quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo alla misura esterna ϕ su X?
Cosa afferma l'Osservazione 1.3 riguardo alla famiglia numerabile {Ej} di insiemi misurabili?
Cosa afferma l'Osservazione 1.3 riguardo alla famiglia numerabile {Ej} di insiemi misurabili?
Secondo il Teorema 1.1, quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo all'additività numerabile della misura esterna ϕ?
Secondo il Teorema 1.1, quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo all'additività numerabile della misura esterna ϕ?
Secondo la Definizione 1.3, cosa afferma riguardo alla famiglia numerabile di insiemi misurabili?
Secondo la Definizione 1.3, cosa afferma riguardo alla famiglia numerabile di insiemi misurabili?
Secondo il Teorema 1.1, quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo all'intersezione di un numero finito di insiemi misurabili?
Secondo il Teorema 1.1, quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo all'intersezione di un numero finito di insiemi misurabili?
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Study Notes
Definizioni e Proprietà delle Misure Esterne
- Una misura esterna è definita come una funzione ϕ che associa ad ogni insieme E ⊆ X un valore ϕ(E) ∈ [0, ∞) che soddisfa la proprietà di subadditività.
Esempi di Misure Esterne
- L'esempio 1.1 di misura esterna è una funzione che assegna a ogni insieme E ⊆ X il número di punti contenuti in E.
- L'esempio 1.3 di misura esterna è una funzione che assegna a ogni insieme E ⊆ X il número di insiemi contenuti in E.
Insiami Misurabili
- Un insieme E ∈ 2^X è detto misurabile rispetto alla misura esterna ϕ su X se ϕ(E) < ∞.
Proprietà delle Misure Esterne
- Secondo il Teorema 1.1, una misura esterna ϕ su X è additiva numerabile, ovvero ϕ(∪{j=1}^∞ E_j) = ∑{j=1}^∞ ϕ(E_j) per ogni famiglia numerabile {E_j} di insiemi disgiunti.
- Secondo il Teorema 1.1, l'intersezione di un numero finito di insiemi misurabili è ancora un insieme misurabile.
Osservazioni e Teoremi
- L'Osservazione 1.1 afferma che una misura esterna ϕ su X è subadditiva, ovvero ϕ(E ∪ F) ≤ ϕ(E) + ϕ(F) per ogni E, F ⊆ X.
- L'Osservazione 1.3 afferma che una famiglia numerabile {E_j} di insiemi misurabili è contenuta in un insieme misurabile.
- Secondo il Teorema 1.1, una misura esterna ϕ su X è sigma-additiva, ovvero ϕ(∪{j=1}^∞ E_j) = ∑{j=1}^∞ ϕ(E_j) per ogni famiglia numerabile {E_j} di insiemi misurabili.
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