Statistische Inferenz: Punktschätzung

Statistische Inferenz

• Statistische Inferenz umfasst Methoden, um Schlussfolgerungen über eine Population auf der Grundlage einer Stichprobe zu ziehen.

Punktschätzung

• Eine Punktschätzung liefert einen einzelnen Wert als Schätzung für einen Populationsparameter.
• Der Punktschätzer ist eine Statistik, die verwendet wird, um den Parameter zu schätzen.
• Die Punktschätzung ist der Wert des Punktschätzers für eine bestimmte Stichprobe.

Beispiel 1

• Um die mittlere Bruchfestigkeit eines Stahlseils zu schätzen, wird eine Stichprobe entnommen und deren Mittelwert berechnet.
• Die Statistik $\bar{X}$ ist ein Punktschätzer für den Populationsmittelwert $\mu$.
• Der berechnete Wert $\bar{x}$ ist eine Punktschätzung von $\mu$.

Erwartungstreue Schätzer

• Ein Schätzer $\hat{\Theta}$ ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter $\theta$, wenn $E(\hat{\Theta}) = \theta$.
• Die Verzerrung (Bias) eines erwartungstreuen Schätzers ist Null: $B(\hat{\Theta}) = E(\hat{\Theta}) - \theta = 0$.
• Die Verzerrung eines Schätzers $\hat{\Theta}$ für den Parameter $\theta$ beträgt $B(\hat{\Theta}) = E(\hat{\Theta}) - \theta$.
• Ein Schätzer ist unverzerrt, wenn seine Verzerrung 0 ist.

Beispiel 2

• Der Beweis, dass $S^2$ ein unverzerrter Schätzer der Populationsvarianz $\sigma^2$ ist, beinhaltet die Berechnung von $E(S^2)$ und den Nachweis, dass er gleich $\sigma^2$ ist.
• $E(S^2)$ wird durch Umformen der Formel für $S^2$ und Anwenden von Erwartungswerten berechnet.
• Die Schlussfolgerung ist, dass $S^2$ ein unverzerrter Schätzer von $\sigma^2$ ist, da $E(S^2) = \sigma^2$.

Minimum-Varianz-Erwartungstreue Schätzer (MVUE)

• Der Minimum-Varianz-Erwartungstreue Schätzer hat die kleinste Varianz unter allen erwartungstreuen Schätzern eines Parameters $\theta$.

Mittlerer quadratischer Fehler (MSE)

• Der mittlere quadratische Fehler (MSE) eines Schätzers $\hat{\Theta}$ für den Parameter $\theta$ ist definiert als $MSE(\hat{\Theta}) = E(\hat{\Theta} - \theta)^2$.

Theorem 6.1

• $MSE(\hat{\Theta}) = Var(\hat{\Theta}) + [B(\hat{\Theta})]^2$.

Beweis

• Der Beweis für $MSE(\hat{\Theta}) = Var(\hat{\Theta}) + [B(\hat{\Theta})]^2$ zeigt, dass der MSE in Varianz und quadrierte Verzerrung zerlegt werden kann.

Beispiel 3

• Die erwartungstreuen Schätzer $\hat{\Theta_1} = \frac{X_1 + X_2}{2}$, $\hat{\Theta_2} = \frac{X_1 + 2X_2}{3}$ und $\hat{\Theta_3} = \bar{X}$ von $\mu$ werden daraufhin analysiert, welcher Schätzer der beste ist.
• Alle drei Schätzer sind erwartungstreu, weil ihr Erwartungswert jeweils $\mu$ ergibt.
• Die Varianz jedes Schätzers wird berechnet und verglichen.
• Da alle Schätzer unverzerrt sind, ist der beste Schätzer der mit der kleinsten Varianz, wodurch $\hat{\Theta_3} = \bar{X}$ zum besten Schätzer wird.

Momentenmethode

• Die Momentenmethode schätzt Parameter, indem die ersten $k$ Populationsmomente mit den ersten $k$ Stichprobenmomenten gleichgesetzt und die resultierenden Gleichungen nach $\theta_1, \theta_2, ..., \theta_k$ aufgelöst werden.
• Dabei ist das r-te Populationsmoment definiert als $E(X^r)$ und das r-te Stichprobenmoment als $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^r$.

Beispiel 4

• Die Momentenschätzer für $\alpha$ und $\beta$ der Gammaverteilung werden durch Gleichsetzen der Populationsmomente mit den Stichprobenmomenten gefunden.
• $E(X) = \alpha\beta$ und $E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = \alpha\beta^2 + (\alpha\beta)^2$.
• Das resultierende Gleichungssystem wird nach $\hat{\alpha}$ und $\hat{\beta}$ aufgelöst.

Physik

Vektoren

• Eine vektorielle Größe hat sowohl eine Größe als auch eine Richtung.

Vektoraddition

• Die Summe zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ergibt einen neuen Vektor $\vec{C}$.
• Um Vektoren zu addieren, werden ihre Komponenten addiert: $\vec{C} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j} + (A_z + B_z)\hat{k}$.

Vektoradditionsbeispiel

$\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$, $\vec{B} = 5\hat{i} - 2\hat{j}$, dann $\vec{C} = 7\hat{i} + \hat{j}$.

Vektorsubtraktion

• Die Differenz zwischen zwei Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ergibt einen neuen Vektor $\vec{D}$.
• Um Vektoren zu subtrahieren, werden ihre Komponenten subtrahiert: $\vec{D} = (A_x - B_x)\hat{i} + (A_y - B_y)\hat{j} + (A_z - B_z)\hat{k}$.

Vektorsubtraktionsbeispiel

$\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$, $\vec{B} = 5\hat{i} - 2\hat{j}$, dann $\vec{D} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$.

Betrag eines Vektors

• Der Betrag eines Vektors $\vec{A}$ ist gegeben durch $A = |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$.

Betragsbeispiel

$\vec{A} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$, dann $A = \sqrt{14} = 3.74$.

Skalarprodukt

• Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist definiert als $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|cos(\theta)$.
• Das Skalarprodukt kann auch durch Multiplizieren der entsprechenden Komponenten berechnet werden: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (A_x \cdot B_x) + (A_y \cdot B_y) + (A_z \cdot B_z)$.

Skalarproduktbeispiel

$\vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$, dann $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.

Vektorprodukt

• Das Vektorprodukt zweier Vektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist ein Vektor $\vec{A} \times \vec{B}$, dessen Betrag $|\vec{A}||\vec{B}|sen(\theta)$ beträgt und dessen Richtung senkrecht zu $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist.
• Das Vektorprodukt kann mit einer Determinante berechnet werden.
• Das Vektorprodukt $\vec{A} \times \vec{B}$ ist gegeben durch $(A_yB_z - A_zB_y)\hat{i} + (A_zB_x - A_xB_z)\hat{j} + (A_xB_y - A_yB_x)\hat{k}$.

Beispiel für Vektorprodukt

$\vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$, dann $\vec{A} \times \vec{B} = 0\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.

Vorlesung 9: 21. Oktober

• Die Vorlesung konzentriert sich auf den lokalen Fall der homologischen Algebra von Moduln über einem kommutativen Ring $R$.

Erinnerungen

• Wenn $R$ noethersch ist, dann $Ext_{R}^{i}(N, M) \cong \underset{\mathfrak{p} \in Spec R}{\oplus} Ext_{R_{\mathfrak{p}}}^{i}(N_{\mathfrak{p}}, M_{\mathfrak{p}})$.
• Wenn $R$ lokal noethersch mit maximalem Ideal $\mathfrak{m}$ und Restklassenkörper $k = R/\mathfrak{m}$ ist, dann $Ext_{R}^{i}(N, M) \cong 0$ für alle $i \geq 0$ genau dann, wenn $N = 0$ oder $M = 0$.
• Außerdem gilt: $Ext_{R}^{i}(k, M) \cong 0$ für alle $i$ genau dann, wenn $M = 0$.

Der lokale Fall

• Sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring mit maximalem Ideal $\mathfrak{m}$ und Restklassenkörper $k = R/\mathfrak{m}$.
• Das Ziel ist es, die $R$-Moduln $Ext_{R}^{i}(k, M)$ zu verstehen.
• Die injektive Hülle von $k$ ist $E = E_{R}(k)$ und die kleinste injektive Modul, die $k$ enthält.

Matlis Dualität

• Die Matlis-Dualität stellt eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der artinschen $R$-Moduln und der Kategorie der vollständigen $R$-Moduln her.
• Die Äquivalenz wird durch $M \mapsto Hom_{R}(M, E)$ gegeben.
• Ein $R$-Modul $M$ ist vollständig, wenn $M \cong \varliminf M/\mathfrak{m}^{n}M$.
• Wenn $M$ endlich erzeugt ist, dann ist $M$ vollständig.