Statistiques descriptives : Notions de base

Voici des notes d'étude détaillées en français, basées sur le texte fourni :

Statistiques descriptives

• La statistique descriptive consiste à résumer et à décrire les caractéristiques d'un ensemble de données.
• Une population est l'ensemble complet des individus ou objets étudiés, tandis qu'un échantillon en est un sous-ensemble.
• Un paramètre décrit une caractéristique de la population, tandis qu'une statistique décrit une caractéristique de l'échantillon.

Types de données

• Les données qualitatives ne sont pas numériques et se divisent en nominales (catégories sans ordre, ex : couleurs) et ordinales (catégories avec ordre, ex : niveaux de satisfaction).
• Les données quantitatives sont numériques : discrètes (valeurs entières, ex : nombre d'enfants) ou continues (valeurs dans un intervalle, ex : taille).

Mesures de tendance centrale

• La moyenne ($\bar{x}$) est la somme des observations divisée par le nombre d'observations : $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$.
• La médiane est la valeur centrale d'un ensemble de données ordonnées.
• Le mode est la valeur la plus fréquente.

Mesures de dispersion

• L'étendue est la différence entre la valeur maximale et minimale.
• La variance ($\sigma^2$ pour une population, $s^2$ pour un échantillon) mesure la dispersion autour de la moyenne. Formules:
  • Population: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$
  • Échantillon: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
• L'écart-type ($\sigma$ ou $s$) est la racine carrée de la variance, mesurant la dispersion typique des données.

Probabilités

• Une expérience aléatoire a un résultat incertain.
• L'espace échantillonnal (Ω) est l'ensemble de tous les résultats possibles.
• Un événement est un sous-ensemble de l'espace échantillonnal.

Axiomes de probabilité

• Pour tout événement A, la probabilité P(A) est supérieure ou égale à 0 : $P(A) \geq 0$.
• La probabilité de l'espace échantillonnal est égale à 1 : $P(\Omega) = 1$.
• Pour des événements mutuellement exclusifs $A_1, A_2,...$, $P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$.

Règles de probabilité

• La probabilité du complément d'un événement : $P(A^c) = 1 - P(A)$.
• Probabilité de l'union de deux événements: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Si A et B sont indépendants, alors $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
• La probabilité conditionnelle de A sachant B (si P(B) > 0): $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Théorème de Bayes

• Formule : $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$.

Variables aléatoires

• Une variable aléatoire (VA) associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire.
• Une VA discrète a un nombre fini ou dénombrable de valeurs, tandis qu'une VA continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle.

Fonction de masse de probabilité (FMP)

• Pour une VA discrète X, la FMP est $P(X = x)$ pour chaque valeur x, et $\sum_{x} P(X = x) = 1$.

Fonction de densité de probabilité (FDP)

• Pour une VA continue X, la FDP est une fonction $f(x)$ telle que $P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$, et $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$.

Espérance mathématique

• VA discrète : $E(X) = \sum_{x} xP(X = x)$.
• VA continue : $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$.

Variance et Écart-type

• La variance ($Var(X)$) mesure la dispersion d'une variable aléatoire. $Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$
• L'écart-type ($\sigma$) est la racine carrée de la variance : $\sigma = \sqrt{Var(X)}$.

Combinatoire

• Le principe de multiplication : si une tâche a n façons de faire et une autre m, alors les deux ont $n \times m$ façons de faire.
• Le principe d'addition indique que si une tâche peut être effectuée de n façons, et une autre tâche peut être effectuée de m façons, et que les deux tâches ne peuvent pas être effectuéesSimultanément, alors l'une ou l'autre des tâches peut être effectuée de $n + m$ façons.

Permutations

• Arrangements ordonnés de n objets distincts, où l'ordre importe.
• $P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$, où r est le nombre d'objets choisis.

Combinaisons

• Sélections non ordonnées de n objets distincts, où l'ordre n'importe pas.
• $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$, où r est le nombre d'objets choisis.

Génie des Réactions Chimiques : Conception de Réacteurs Isothermes - Conversion

Conception de Réacteurs Uniques : Dimensionnement

• Réaction en phase liquide: pour la réaction $-r_{A} = kC_{A}$, on calcule le volume du réacteur $V$ avec l'intégrale $V = F_{A0} \int_{0}^{X} \frac{dX}{-r_{A}}$.

• Conversion: $C_{A} = C_{A0}(1-X)$, d'où $-r_{A} = kC_{A0}(1-X)$.

• Levenspiel: $\frac{F_{A0}}{-r_{A}} = \frac{F_{A0}}{kC_{A0}} \frac{1}{(1-X)} = \frac{v_{0}}{k} \frac{1}{(1-X)}$, où l'on trace $\frac{F_{A0}}{-r_{A}}$ en fonction de X.

  • Le volume du réacteur PFR est l'aire sous la courbe Levenspiel, $V = \int_{0}^{X} \frac{F_{A0}}{-r_{A}} dX$.
  • Le volume du réacteur CSTR est un rectangle, $V = \frac{F_{A0}}{-r_{A}}X$. Exemple: si $X = 0.8$, alors $V_{CSTR} = \frac{F_{A0}}{-r_{A}} (0.8)$.

• Réaction en phase gazeuse: pour la réaction $-r_{A} = kC_{A}$, la concentration est $C_{A} = \frac{C_{A0}(1-X)}{(1+\epsilon X)} $ et $-r_{A} = k \frac{C_{A0}(1-X)}{(1+ \epsilon X)}$.

• Levenspiel: $\frac{F_{A0}}{-r_{A}} = \frac{F_{A0}}{kC_{A0}} \frac{(1+ \epsilon X)}{(1-X)} = \frac{v_{0}}{k } \frac{(1+ \epsilon X)}{(1-X)}$, où l'on trace $\frac{F_{A0}}{-r_{A}}$ en fonction de X.

  • Le volume du réacteur PFR est l'aire sous la courbe Levenspiel, $V = \int_{0}^{X} \frac{F_{A0}}{-r_{A}} dX$.
  • Le volume du réacteur CSTR est un rectangle, $V = \frac{F_{A0}}{-r_{A}}X$. Exemple: si $X = 0.8$, alors $V_{CSTR} = \frac{F_{A0}}{-r_{A}} (0.8)$.
  • Pour les réactions irréversibles, le taux diminue continuellement à mesure que la conversion augmente. Pour les réactions réversibles, le taux diminue à zéro à la conversion d'équilibre ($X_{e}$).

Algèbre Linéaire et Analyse Matricielle

Systèmes d'Équations Linéaires

• L'algèbre linéaire est l'étude des équations linéaires, vecteurs et transformations dans des espaces vectoriels.
• L'analyse matricielle utilise des matrices pour représenter et manipuler ces systèmes.
• Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires avec les mêmes variables.
• Une équation linéaire a la forme $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$.
• Un système linéaire peut s'écrire sous forme matricielle $Ax = b$.
• Les méthodes de résolution incluent Gauss-Jordan, factorisation LU et moindres carrés.
• Les applications se trouvent en ingénierie, économie, physique et informatique.

Matrices

• Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. Une matrice $m \times n$ a $m$ lignes et $n$ colonnes. Les éléments sont appelés coefficients.
• Les opérations incluent l'addition, la soustraction, la multiplication et multiplication scalaire.
• Les types de matrices incluent les carrées, diagonales, triangulaires, symétriques, antisymétriques, et orthogonales.

Déterminants

• Le déterminant ($\det(A)$ ou $|A|$) est une valeur calculée à partir d'une matrice carrée.
• Un déterminant nul implique une matrice non inversible.
• $\det(AB) = \det(A) \det(B)$.
• $\det(A^T) = \det(A)$.
• Le déterminant d'une matrice orthogonale est $\pm 1$.
• Pour une matrice $2\times 2$: $\det \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
• Les déterminants $3\times 3$ peuvent utiliser la règle de Sarrus ou le développement de Laplace.

Espaces Vectoriels

• Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs pouvant être additionnés et multipliés par un scalaire et qui satisfait certains axiomes.
• Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel.
• Une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent l'espace. La dimension est le nombre de vecteurs dans une base.

Valeurs Propres et Vecteurs Propres

• Une valeur propre ($\lambda$) satisfait $Ax = \lambda x$ pour un vecteur non nul $x$. Ce vecteur $x$ est le vecteur propre associé.
• Le polynôme caractéristique est $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$. Les valeurs propres sont les racines de ce polynôme.
• Une matrice est diagonalisable si $P^{-1}AP$ est diagonale pour une matrice inversible $P$, ce qui se produit si elle a $n$ vecteurs propres linéairement indépendants.