Statistique et Probabilités

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Questions and Answers

Quel est le résultat de l'application du théorème de transfert ?

h(X) ne peut pas être une variable aléatoire.

h(X) ne peut pas être intégrable si h est PX-intégrable.

h(X) est toujours intégrable.

Si h est mesurable, alors h(X) est mesurable. (correct)

Quand une variable aléatoire h(X) est-elle P-intégrable ?

Lorsque |h(x)| est supérieur à l'infini.

Lorsque h est constante.

Lorsque h est mesurable.

Lorsque h est PX-intégrable. (correct)

Quelle est l'expression correcte pour l'espérance d'une variable aléatoire discrète X ?

E[X] = xP(X).

E[X] = ∫ X dP.

E[X] = ∑ x∈X(Ω) xP(X = x). (correct)

E[X] = ∑ x∈X(Ω) P(X = x).

Dans quel cas la variable aléatoire X est-elle intégrable ?

Si E[|X|] < +∞. Signup and view all the answers

Quelle propriété conserve l'application d'une fonction mesurable h sur une variable aléatoire X ?

h(X) est mesurable. Signup and view all the answers

Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire constante c ?

E[c] = cP(Ω). Signup and view all the answers

Quelle est la condition d'intégrabilité pour la fonction h(X) si h est mesurable ?

E[h(X)] = ∑ |h(x)|P(X = x) < +∞. Signup and view all the answers

Comment s'exprime la loi d'une variable aléatoire discrète X ?

PX = Σ P(X = x)δx. Signup and view all the answers

Quelle est la définition de la covariance entre deux variables aléatoires X et Y ?

Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] Signup and view all the answers

Dans quelle condition a-t-on Cov(X, Y) = E[XY] ?

Lorsque X est centré ou Y est centré. Signup and view all the answers

Quelle est la formule correcte pour la variance de la somme de deux variables aléatoires X et Y ?

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) Signup and view all the answers

Comment se comporte la covariance lorsque X et Y sont indépendantes ?

Cov(X, Y) = 0 Signup and view all the answers

Quel est l'intervalle possible pour le coefficient de corrélation ρ(X, Y) ?

[−1, 1] Signup and view all the answers

Si ρ(X, Y) = ±1, que peut-on conclure ?

Il existe un lien linéaire entre X et Y. Signup and view all the answers

Quelle inégalité est utilisée pour établir |Cov(X, Y)| ≤ Var(X)Var(Y) ?

Inegalité de Cauchy-Schwarz Signup and view all the answers

Quel est le terme associé à la variance d'une variable aléatoire ?

Var(X) Signup and view all the answers

Que signifie qu'un vecteur aléatoire est dit gaussien?

Il a une densité de probabilité qui dépend d'une forme quadratique positive. Signup and view all the answers

Comment se définit l'indépendance d'événements A et B dans un espace de probabilité?

P(A ∩ B) = P(A)P(B) Signup and view all the answers

Quelles sont les caractéristiques des événements mutuellement indépendants?

Pour toute sous-famille, la probabilité d'intersection est le produit des probabilités. Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour que deux tribus F et G soient indépendantes?

P(A ∩ B) = P(A)P(B) pour tout A ∈ F et B ∈ G. Signup and view all the answers

Que se passe-t-il si deux événements A et B sont incompatibles?

Ils ne peuvent pas être mutuellement indépendants sauf si l'un a une probabilité nulle. Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour calculer le volume d'une boule euclidienne de rayon R ?

$\frac{4}{3} \pi R^3$ Signup and view all the answers

Quelle est une caractéristique d'une suite infinie d'événements indépendants?

Toute sous-famille finie doit être formée d'événements mutuellement indépendants. Signup and view all the answers

Comment les variables aléatoires sont-elles liées aux tribus en probabilités?

On associe chaque variable aléatoire à une tribu σ(X). Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un vecteur aléatoire ?

Une application mesurable de $(\Omega, F, P)$ dans $(R^n, B(R^n))$. Signup and view all the answers

Comment définir une variable aléatoire marginale dans un vecteur aléatoire X ?

Comme la projection du vecteur sur l'un de ses composants. Signup and view all the answers

Quelle est la définition de la loi d'un vecteur aléatoire X ?

La mesure image de la probabilité par X sur $R^n$. Signup and view all the answers

Dans quelle condition un vecteur aléatoire X est-il considéré comme discret ?

Lorsque l'ensemble de ses valeurs est discret dans $R^n$. Signup and view all the answers

Quelle est l'intégrale utilisée pour le calcul du volume d'une boule en coordonnées cylindriques ?

$\int_0^{R} r^2 , dr \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta , d\theta \int_0^{2\pi} d\phi$ Signup and view all the answers

Quelle est la projection ième d'un vecteur X sur R ?

$X_i = pi(X)$ Signup and view all the answers

Quelle mesure représente $\lambda^3$ dans le contexte de la boule euclidienne ?

La mesure de Lebesgue en dimension 3. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui indique que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes?

f(X,Y)(x, y) se factorise en fX(x) et fY(y) Signup and view all the answers

Quelle formule représente la densité conjointe f(X,Y)(x, y)?

f(X,Y)(x, y) = fX(x) * fY(y) Signup and view all the answers

Quels sont les termes des densités marginales fX(x) et fY(y)?

fX(x) = p e^{-30} et fY(y) = p e^{-6} Signup and view all the answers

Dans quel cas X et Y ne sont pas indépendants?

Lorsque fX(x) * fY(y) n'est pas égale à f(X,Y)(x,y) Signup and view all the answers

Que représente la notation P-intégrable dans le contexte donné?

Une fonction est intégrable par rapport à une mesure de probabilité Signup and view all the answers

Comment influence l'indépendance des variables aléatoires X1, ..., Xn la prise d'espérance?

Elle permet de multiplier les espérances individuelles Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour que la somme E[hi(Xi)] soit intégrable?

hi(Xi) doit être P-intégrable pour chaque i Signup and view all the answers

Quel est l'impact du théorème de transfert sur l'espérance des fonctions de variables indépendantes?

Il relie les espérances des fonctions multiples Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour que la covariance entre deux vecteurs aléatoires X et Y soit nulle ?

X et Y doivent être indépendants. Signup and view all the answers

Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires uniformément distribuées sur [-1, 1], quelle est la valeur de E[X1] ?

0 Signup and view all the answers

Quelle expression représente la relation entre la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes X et Y ?

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) Signup and view all the answers

La réciproque de la condition de covariance nulle entre deux variables aléatoires X et Y est-elle toujours vraie ?

Non, la réciproque n'est pas toujours vraie. Signup and view all the answers

Comment s'exprime la convolution de deux mesures µ et ν sur un espace vectoriel mesurable ?

µ * ν(A) = ∫ µ(A - y) dν(y) Signup and view all the answers

Qu'est-ce que E[X1 X2] représente quand X1 et X2 ne sont pas indépendants ?

Une valeur dépendante des distributions de X1 et X2 Signup and view all the answers

Dans le cas de variables aléatoires gaussiennes, quelle propriété est vraie concernant leur covariance nulle ?

X et Y sont nécessairement indépendants. Signup and view all the answers

Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes, quelle expression définit leur covariance ?