Statistique et Probabilités - Chapitre 3

Le théorème de transfert nous permet de calculer l'espérance d'une fonction d'une variable aléatoire en utilisant la loi de la variable aléatoire.

Une variable aléatoire X est une fonction mesurable de l'espace de probabilité (Ω, F, P) vers l'ensemble des nombres réels R.

L'espérance d'une variable aléatoire X est la valeur moyenne que prend la variable sur un grand nombre d'observations.

La loi d'une variable aléatoire discrète X est une mesure de probabilité définie sur l'ensemble des valeurs possibles de X.

Une variable aléatoire discrète prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs.

Une mesure de Dirac est une mesure concentrée en un seul point.

Une variable aléatoire est intégrable si l'espérance de sa valeur absolue est finie.

Une variable aléatoire constante prend toujours la même valeur.

La covariance de deux variables aléatoires X et Y est une mesure de leur dépendance linéaire. Elle indique la tendance de X et Y à varier ensemble. Si la covariance est positive, X et Y tendent à varier dans la même direction. Si la covariance est négative, X et Y tendent à varier dans des directions opposées.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est la valeur moyenne que l'on attend de cette variable. Elle est souvent notée E[X] pour une variable aléatoire X.

La variance d'une variable aléatoire est une mesure de sa dispersion autour de sa moyenne. Elle mesure la variation de la variable par rapport à sa valeur attendue. Plus la variance est élevée, plus la variable est dispersée.

La variance d'une somme de deux variables aléatoires est égale à la somme des variances individuelles plus deux fois la covariance entre les deux variables.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est une inégalité importante en mathématiques qui établit une relation entre le produit scalaire de deux vecteurs et leurs normes. Elle est utilisée pour prouver des résultats relatifs à la covariance.

Le coefficient de corrélation est une mesure de la dépendance linéaire entre deux variables aléatoires, normalisée entre -1 et 1. Un coefficient de corrélation de 1 indique une relation linéaire positive parfaite, un coefficient de -1 indique une relation linéaire négative parfaite, et un coefficient de 0 indique qu'il n'y a pas de relation linéaire.

Si le coefficient de corrélation entre deux variables aléatoires est égal à ±1, cela signifie qu'il existe une relation linéaire parfaite entre les deux variables.

Si le coefficient de corrélation est égal à ±1, il existe une relation linéaire parfaite entre les deux variables aléatoires. Cela signifie qu'une variable peut être exprimée comme une fonction linéaire de l'autre.

Une application mesurable de l'espace probabilisé (Ω, F, P) vers l'espace Rn muni de la tribu borélienne B(Rn).

La i-ème projection de X, c'est-à-dire la variable aléatoire Xi = pi(X) = xi.

La loi de probabilité du vecteur X est la mesure image sur Rn de la probabilité P par X.

Un vecteur aléatoire X est dit discret si l'ensemble de ses valeurs possibles X(Ω) est discret dans Rn.

L'espace de probabilité (Ω, F, P) est l'espace des résultats possibles, l'ensemble des événements possibles et la mesure de probabilité respective.

L'ensemble B(R) est l'ensemble de toutes les parties mesurables de R, les boréliens.

La mesure de Lebesgue est une mesure qui permet de calculer le volume dans Rn.

Deux événements A et B d'un espace de probabilité sont indépendants si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités respectives.

Deux tribus F et G sur un même espace Ω sont indépendantes si, pour tout A ∈ F et B ∈ G, la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités respectives.

Une suite infinie d'événements est dite (mutuellement) indépendante si toute sous-famille finie est formée d'événements mutuellement indépendants.

En associant à chaque variable aléatoire X une tribu σ(X), on peut définir l'indépendance pour des variables aléatoires.

Pour chaque variable aléatoire X, il existe une tribu σ(X), qui représente l'ensemble des événements liés à X.

Elle permet de définir l'indépendance entre des variables aléatoires.

Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si leur densité jointe f(X,Y)(x, y) est égale au produit de leurs densités marginales : f(X,Y)(x, y) = fX(x)fY(y).

Si les densités marginales fX(x) et fY(y) d'un couple aléatoire (X, Y) sont connues, et si f(X,Y)(x, y) = fX(x)fY(y), alors X et Y sont indépendantes.

Le théorème de Fubini permet de calculer l'espérance d'une fonction d'un vecteur aléatoire en utilisant l'indépendance des variables et la loi de chaque variable individuelle.

L'espérance d'une somme de fonctions de variables aléatoires indépendantes est égale à la somme des espérances individuelles de ces fonctions.

La loi de la somme de variables aléatoires indépendantes est la convolution des lois individuelles.

Si deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes et si f(X,Y)(x, y) ≠ fX(x)fY(y), alors elles ne sont pas indépendantes.

Une variable aléatoire est intégrable si l'espérance de sa valeur absolue est finie.

Si X1, ..., Xn sont des variables aléatoires réelles (ou complexes) indépendantes avec des moments d'ordre 1, alors l'espérance du produit est égale au produit des espérances : E[X1...Xn] = E[X1]...E[Xn].

La réciproque du théorème sur l'indépendance et l'espérance de produits est fausse. Si E[X1...Xn] = E[X1]...E[Xn], cela ne garantit pas que les variables soient indépendantes.

La covariance est une mesure de la dépendance linéaire entre deux variables aléatoires. Si deux variables sont indépendantes, leur covariance est nulle.

Si X et Y sont deux vecteurs aléatoires indépendants de variances finies, alors leur covariance est nulle : Cov(X, Y) = 0.

La réciproque de la Proposition 2.3.4 est fausse. Si deux variables ont une covariance nulle, cela ne signifie pas qu'elles sont indépendantes.

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes et ont des moments d'ordre 2, alors la variance de leur somme est égale à la somme des variances : Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

La convolution de deux mesures µ et ν sur un espace vectoriel mesurable (X, A) est définie comme µ * ν(A) = ∫X µ(A − x)dν(x).

L'espace vectoriel mesurable (X, A) est un espace vectoriel muni d'une tribu.