Statistique Descriptive: Bases

Statistique Descriptive

• Population : Ensemble complet des individus ou objets d'intérêt.
• Échantillon : Sous-ensemble de la population.
• Variable : Caractéristique d'intérêt mesurée pour chaque individu de l'échantillon.

Types de Variables

• Quantitative :
  • Discrète : Prend des valeurs entières.
  • Continue : Prend des valeurs dans une plage.
• Qualitative :
  • Nominale : Catégories sans ordre.
  • Ordinale : Catégories avec un ordre.

Mesures de Tendance Centrale

• Moyenne : La moyenne ($\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$).
• Médiane : Valeur centrale des données ordonnées.
• Mode : Valeur la plus fréquente.

Mesures de Dispersion

• Étendue : Différence entre la valeur maximale et minimale.
• Variance : Moyenne des carrés des différences par rapport à la moyenne ($s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$).
• Écart Type : Racine carrée de la variance ($s = \sqrt{s^2}$).
• Coefficient de variation : Mesure relative de la dispersion ($\frac{s}{\bar{x}}$).

Probabilité

• Événement : Sous-ensemble de l'espace d'échantillonnage.
• Probabilité : Mesure de la possibilité qu'un événement se produise (entre 0 et 1).
• Probabilité conditionnelle : Probabilité d'un événement étant donné qu'un autre s'est produit ($P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$).
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si la survenue de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre ($P(A|B) = P(A)$).

Distributions de Probabilité

• Discrètes :
  • Bernoulli : Succès ou échec.
  • Binomiale : Nombre de succès en n essais.
  • Poisson : Nombre d'événements dans un intervalle.
• Continues :
  • Normale : Courante dans de nombreux phénomènes naturels.
  • Exponentielle : Temps jusqu'à ce qu'un événement se produise.

Inférence Statistique

• Estimation :
  • Ponctuelle : Une seule valeur pour estimer un paramètre.
  • Intervalle : Plage de valeurs avec un niveau de confiance.
• Test d'hypothèse : Processus permettant de déterminer s'il existe suffisamment de preuves pour rejeter une hypothèse nulle.
  • Hypothèse nulle ($H_0$) : Affirmation que l'on tente de réfuter.
  • Hypothèse alternative ($H_1$) : Affirmation qui est acceptée si l'hypothèse nulle est rejetée.
  • Niveau de signification ($\alpha$) : Probabilité de rejeter $H_0$ lorsqu'elle est vraie.
  • Valeur P : Probabilité d'obtenir des résultats aussi extrêmes que ceux observés, étant donné que $H_0$ est vraie.

Régression Linéaire

• Modèle : $\hat{y} = b_0 + b_1x$.
• Coefficients : $b_0$ (ordonnée à l'origine) et $b_1$ (pente).
• Erreur type : Mesure de la précision des coefficients.
• $R^2$ : Proportion de la variance expliquée par le modèle.

Analyse de la Variance (ANOVA)

• Objectif : Comparer les moyennes de deux groupes ou plus.
• Hypothèse :
  • $H_0$ : Les moyennes sont égales.
  • $H_1$ : Au moins une moyenne est différente.
• Statistique F : Compare la variance entre les groupes avec la variance au sein des groupes.