Untitled Quiz

Bài 1: Số phức

• Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + √2014/3i) + 1/(1 + 3i)2014

Bài 2: Phương trình số phức

• Giải các phương trình sau trên tập số phức:
  • z^3 − (1 + 3i) = 0
  • z^4 + z = 0
  • (z^2 + z1)(z^2 + i) = i
  • z^2 − (2 + i)z − (1 + i) = 0
  • (z + √3)(z^2 + z + 1) = i

Bài 3: Nghiệm của phương trình bậc hai

• Giải phương trình z^2 + 2√3z + 4 = 0 trên tập số phức.
• Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình trên, hãy tính z1^2014 + z2^2014

Bài 4: Lũy thừa và căn bậc 3 của số phức

• Tìm lũy thừa bậc 6 và các căn bậc 3 của số phức z = 3 − i

Bài 5: Giới hạn

• Tính các giới hạn sau:
  • lim(x→0) [1 − (cos x)sin x]/ x^3
  • lim(x→0) (cos x)sin x
  • lim(x→0) (2 − x)^πx / tan(x^2)
  • lim(x→0) (cos(2x) − 1) / arctan(4x)
  • lim(x→0) (e − 1) / ln(cos(2x))
  • lim(x→0) (sin(x^2)/x)^1/x
  • lim(x→0) (1 + sin(2x))^3x
  • lim(x→0) (cos(x^2) − 1) / tan(x)
  • lim(x→∞) (x + 1)^(2x)/x^4
  • lim(x→0) (1 + tan(x))^3x
  • lim(x→∞) (x − sin(x)) / (x + sin(x))
  • lim(x→0) (cos(x) − e^(2x)) / sin(4x)
  • lim(x→0) (e − cos(x)) / sin(2x)
  • lim(x→0) (e − x − 1) / tan(2x)
  • lim(x→0) (e − e^(2x)) / ln(1 + 2x)
  • lim(x→∞) x^2 (1 − cos(1 / x))
  • lim(x→0) ln(1 + x) − x / x^2
  • lim(x→0) (1 + sin(2x))tan(x)
  • lim(x→0) (etan(5x) − etan(3x)) / ln(1 + 3x)
  • lim(x→0) (ln(1 + x) − x) / (esin(x) − 1)^2
  • lim(x→0) (ex − cos(x)) / (1 − cos(x))
  • lim(x→0) (e − cos(x)) / sin(x)
  • lim(x→0) (1 + 2x − √(1 + 3x)) / x
  • lim(x→0) (2 − cot^2(x)) / x
  • lim(x→0) ln(1 + x^3) / (tan(x) − x)
  • lim(x→e) ln(x − 1) / (x − e)
  • lim(x→−2) (x^2 − 4) / tan(x + 2)
  • lim(x→0) (√(1 + tan(x)) − √(1 − tan(x))) / sin(x)
  • lim(x→∞) (x − sin(x)) / (x + sin(x))
  • lim(x→0) (1 − (cos(x))sin(x)) / x^3
  • lim(x→∞) [x − x^2 ln(1 + 1 / x)] / x
  • lim(x→1) (e − ex) / ((1 − x) ln(x))

Bài 6: Hàm số liên tục

• Xác định a để hàm số f(x) = {e − e−x / x, khi x ≠ 0 ; sin(3x) / 0, khi x = 0 liên tục tại x = 0.
• Tính ∫f(x)dx

Bài 37: Tích phân suy rộng

• Tính các tích phân suy rộng:
  • ∫(x→∞) x dx / (2 + x)^2
  • ∫(x→∞) dx / x^3
  • ∫(x→∞) e^(-x) dx
  • ∫(x→1+∞) x / (√(2 + x)) dx
  • ∫(x→0) x / (√(1 + x^2)) dx
  • ∫(x→∞) xe^(-x) dx
  • ∫(x→1+∞) dx / ((1 + x)^2)
  • ∫(x→1) dx / (√(9x ln(x)))
  • ∫(x→1) x dx / (√(1 − x))
  • ∫(x→0) dx / (√(x + √x))
  • ∫(x→∞) dx / (√(3 + x))
  • ∫(x→e) dx / (√(x^2 − 1))
  • ∫(x→1) dx / (x(x^2 + 1))
  • ∫(x→0) (arctan(x))^2 dx / x
  • ∫(x→0) dx / (x(1+ln(x)))

Bài 38: Sự hội tụ của tích phân suy rộng

• Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng:
  • ∫(x→1) dx / (x − sin(x))
  • ∫(x→∞) dx / (tan(x) − sin(x))
  • ∫(x→1) dx / (√(x + x^3))
  • ∫(x→0) ln(x) dx / x^2
  • ∫(x→∞) ln(x) dx / (1 + x)^2
  • ∫(x→0) dx / (√(x^n)), (n ∈ N, n > 1)
  • ∫(x→0) dx / (√(4 + x^4))
  • ∫(x→∞) dx / (2 + sin(x) )
  • ∫(x→0) dx / (√(1 − x^4))
  • ∫(x→∞) x dx / (x + sin(x))
  • ∫(x→0) e^(-x) dx / x
  • ∫(x→1) dx / ((x^2 − 1)^3)
  • ∫(x→1) dx / (√(x^3 + √(x + 5)))
  • ∫(x→0) dx / (√(16 − x^4))
  • ∫(x→0) dx / (sin(x)−tan(x))
  • ∫(x→∞) cos(x) + 2 sin(x) / x dx
  • ∫(x→∞) |sin(x)| / x^2 dx
  • ∫(x→∞) dx / (√(x + 3x))
  • ∫(x→1+∞) dx / (√(ex − 1))
  • ∫(x→∞) dx / (√(x^2 + x))
  • ∫(x→π) tan(x) dx
  • ∫(x→0) e^(-2x) / (√(1 − x)) dx
  • ∫(x→1) (e^2 − 1) / (√((1 − cos(√x))^2)) dx
  • ∫(x→1) dx / (ln(x))
  • ∫(x→0) dx / (x(√(1 − x)))
  • ∫(x→0) dx / (esin(x) − 1)

Bài 39: Tìm hằng số trong tích phân suy rộng

• Xác định a để ∫(x→−∞) ae^(|x|) dx = 1

Bài 40: Chứng minh tích phân phân kỳ

• Chứng minh rằng tích phân ∫(x→1) (2xe^(2t))/ (t^2) dt phân kỳ ra +∞.
• Tính lim(x→+∞) (∫(x→1) (2xe^(2t))/ (t^2) dt) / e^(2x)

Bài 41: Sự hội tụ của chuỗi số

• Xét sự hội tụ của các chuỗi số:
  • ∑(n→∞) (−1)^n sin(√(1/n) tan(1/n))
  • ∑(n→∞) n! / cos(na)^n
  • ∑(n→∞) √(n / (n^2 + cos(nx)))
  • ∑(n→∞) (1 + n) / n^3
  • ∑(n→2) sin(1/n) / (ln(n))
  • ∑(n→∞) ln(n^3) / (2n)
  • ∑(n→∞) √( (n^2 +1) − n)
  • ∑(n→∞) (−1)^n / n^2
  • ∑(n→∞) (n + 3 / n^2 + 1) / (n + 4)
  • ∑(n→∞) sin(n^2 π + π / n)
  • ∑(n→∞) n / (4(n + 1)!)
  • ∑(n→∞) (−1)^n 2 ^ (n + 1) / ((3n)! * (3n + (−2)^n))
  • ∑(n→1) √(n / (n + cos(nx)))

Bài 42: Chuỗi luỹ thừa

• Xét sự hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau:
  • ∑(n→∞) (x − e)^n / n^n
  • ∑(n→∞) (x^n) / (n^n)
  • ∑(n→∞) √(n / (n + cos(nx)))
  • ∑(n→∞) n! / (2nx)^n
  • ∑(n→0) x^(n + 2) / ((n + 1)(n + 2))
  • ∑(n→1) (x^n) / (n^2 * n)
  • ∑(n→2) (1 − x^n) / ((2n + 1)(1 + x))
  • ∑(n→2) (2n + 3n) / (x^n)
  • ∑(n→1) (x^n) / (2n + 3n)
  • ∑(n→1) (− 1)^n / (n(2x)^n)
  • ∑(n→1) √(x^n) / (3^n)
  • ∑(n→1) √((x − 4)^n / n)
  • ∑(n→2) (x^n) / (n * ln(2n))
  • ∑(n→2) (√((−1)^n * x^n) / (2^(n+1) * (3 − x)^n))
  • ∑(n→1) (x^n) / n!
  • ∑(n→1) (n + 1) * n / (n^3 * n * (x − 5)^n)
  • ∑(n→1) x^n / (2n + 1)
  • ∑(n→3) 1 / (n * ln(n) * (3x − 1)^n)
  • ∑(n→1) 1 / (√(3 + n) * (2x − 1)^n)

Bài 43: Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa

• Khai triển hàm số f(x) = x^3 / (1 + 2x^2) thành chuỗi luỹ thừa của x

Bài 44: Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa

• Khai triển hàm số f(x) = ln(x + 3) thành chuỗi luỹ thừa của (x − 3)

Bài 45: Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa

• Khai triển hàm số f(x) = ln(x + 5) thành chuỗi luỹ thừa của (x − 1)

Bài 46: Chuỗi Fourier

• Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau, biết chúng là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π:
  • f(x) = {1, khi −π ≤ x < 0; 2, khi 0 ≤ x ≤ π }
  • f(x) = {sin(2t), khi 0 ≤ t < π; 0 , khi π ≤ t ≤ 2π}
  • f(x) = {2π + x, khi −π ≤ x < 0 ; 0 , khi 0 ≤ x ≤ π }
  • f(x) = {π , khi −π ≤ x < 0 ; π − x, khi 0 ≤ x ≤ π}
  • f(x) = {0 , khi −π ≤ x < 0, π ≤ x ≤ π; 2 , khi 0 ≤ x ≤ π}

Bài 47: Chuỗi Fourier

• Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) = {-1, khi −π ≤ x < 0; 2 , khi 0 ≤ x ≤ π }