Somme directe et concourance des sous-espaces
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Somme directe et concourance des sous-espaces

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Questions and Answers

Quelle est la relation correcte entre f, f10 et f20 ?

f = f20 - f10

Pourquoi peut-on dire que F = A + F ?

Par définition

Quelle est la direction de Fi si les Fi sont concourants ou sécants ?

Fi

Quelle est la conséquence si F ≠ ∅ ?

<p>Il existe A ∈ F</p> Signup and view all the answers

Que représente l'égalité F − f = F dans le contexte de l'espace vectoriel E ?

<p>F - f est équivalent à F dans E</p> Signup and view all the answers

Quelle est la condition pour dire que les FT i sont concourants ou sécants ?

<p>{ FT i }i∈1 sont concourants ou sécants si i∈I Fi.i∈I Fi 6= ∅</p> Signup and view all the answers

Si E = F + G, que peut-on conclure sur les vecteurs M + f et N - g ?

<p>Ils appartiennent à E.</p> Signup and view all the answers

Que signifie le fait que F et G soient en somme directe ?

<p>Tout vecteur de F + G peut être décomposé de manière unique en un vecteur de F et un vecteur de G.</p> Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour que F et G soient en somme directe ?

<p>F ∩ G = {0E}</p> Signup and view all the answers

Que peut-on conclure si F ∩ G contient uniquement l'élément neutre {0E} ?

<p>F et G sont en somme directe.</p> Signup and view all the answers

Quel lien existe entre la formule de Grassmann et la dimension de F + G ?

<p>La formule de Grassmann est une généralisation de la dimension de F + G.</p> Signup and view all the answers

Dans l'exemple donné, comment peut-on décrire le plan P et la droite D en termes de somme directe ?

<p>Ils sont en somme directe.</p> Signup and view all the answers

Quelle est la définition de la somme de deux sous-espaces vectoriels F et G dans un espace vectoriel E ?

<p>F + G = {f + g; f ∈ F et g ∈ G}</p> Signup and view all the answers

Pourquoi la famille {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} est-elle une base de C2 sur R ?

<p>Elle forme un ensemble linéairement indépendant</p> Signup and view all the answers

Pourquoi l'ensemble F + G est-il considéré comme le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F et G ?

<p>Parce que tout sous-espace contenant F et G contient aussi F + G</p> Signup and view all the answers

Que représente Vect(X ∪ Y) dans le théorème 2.53 ?

<p>L'ensemble engendré par l'union de X et Y</p> Signup and view all the answers

Pourquoi l'ensemble X ∪ Y engendre-t-il la somme F + G selon le théorème 2.53 ?

<p>Car il engendre Vect(X) + Vect(Y)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la dimension de la base canonique de C2 comme C-espace vectoriel?

<p>2</p> Signup and view all the answers

Study Notes

  • Si E est un espace vectoriel de dimension k, avec F et G comme sous-espaces affines de directions respectives F et G, alors si E = F + G, F et G sont concourants.
  • La somme directe de F et G est définie comme une décomposition unique d'un vecteur de F + G en un vecteur de F et un vecteur de G. Cela se note F ⊕ G.
  • F et G sont en somme directe si et seulement si F ∩ G = {0E}, avec dim(F + G) = dim F + dim G si les dimensions de F et G sont définies.
  • Dans R3, le plan P et la droite D sont en somme directe.
  • Une base de E comme espace complexe peut être transformée en une base de E comme espace réel en doublant ses éléments.
  • La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G est le plus petit sous-espace contenant à la fois F et G.
  • Le vecteur engendré par l'union de deux parties X et Y est égal à la somme des vecteurs engendrés par X et Y.
  • Un sous-espace affine F peut être représenté comme F = A + F pour tout A appartenant à F.
  • Des sous-espaces affines sont dits concourants s'ils ont une intersection non vide, ce qui signifie que leur somme est un sous-espace affine également.

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Description

Démonstration de la concourance des sous-espaces F et G de l'espace vectoriel E, ainsi que la définition de la somme directe de deux sous-espaces. En utilisant la décomposition d'un vecteur de F + G en un vecteur de F et un vecteur de G, on démontre la concourance de F et G.

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