Sistemi linearnih enačb

Uvod v sisteme linearnih enačb

• Ukvarja se s sistemi linearnih enačb in njihovimi rešitvami.

Definicije

• Linearna enačba vključuje n spremenljivk (x₁, x₂, ..., xₙ) in jo je mogoče izraziti kot a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b, kjer so a₁, a₂, ..., aₙ in b konstante.
• Sistem m linearnih enačb z n neznankami je sestavljen iz m linearnih enačb, od katerih ima vsaka n spremenljivk. Splošna oblika je navedena z več enačbami, ki prikazujejo linearne kombinacije spremenljivk, ki so enake konstantam (bᵢ).
• Rešitev sistema linearnih enačb je niz vrednosti za spremenljivke x₁, x₂, ..., xₙ, ki izpolnjujejo vse enačbe v sistemu.
• Reševanje sistema linearnih enačb vključuje iskanje vseh rešitev.

Metode reševanja

• Različne metode vključujejo substitucijo, Gaussovo eliminacijo in metodo Gauss-Jordan.
• Gaussova metoda sistematično preoblikuje sistem linearnih enačb v ekvivalenten sistem, ki ga je lažje rešiti, z uporabo elementarnih operacij nad enačbami.

Elementarne operacije

• Zamenjava dveh enačb.
• Množenje enačbe s konstanto, ki ni nič.
• Prištevanje večkratnika ene od enačb drugi enačbi.
• Elementarne operacije ne spremenijo množice rešitev sistema linearnih enačb.

Gausova metoda

• Sistematično izvedite elementarne operacije, da sistem preoblikujete v stopničasti sistem.
• Sistem linearnih enačb je v stopničasti obliki, če je prvi neničelni koeficient vsake enačbe (od leve proti desni) 1 (imenovan pivot).
• Pivot vsake enačbe je na desni strani pivota prejšnje enačbe.
• Ničelne enačbe (če obstajajo) se nahajajo na dnu sistema.
• Ko je sistem preoblikovan v stopničasti sistem, ga je enostavno rešiti tako, da začnete z zadnjo enačbo in se pomikate navzgor.

Primer reševanja s Gaussovo metodo

• Primer uporabe Gaussove metode za reševanje sistema treh enačb s tremi neznankami (x, y, z), ki vodi do rešitve (x, y, z) = (-2, 2, 1).

Metoda Gauss-Jordan

• Različica Gaussove metode, ki neposredno pridobi rešitev sistema.
• Preoblikuje sistem v reducirano stopničasto obliko.
• Sistem linearnih enačb je v reducirani stopničasti obliki, če je v stopničasti obliki in so vsi koeficienti nad pivotnimi koeficienti enaki nič.
• Ko je sistem preoblikovan v reducirano stopničasto obliko, je rešitev sistema neposredno čitljiva.

Primer reševanja z metodo Gauss-Jordan

• Primer ponovnega reševanja prejšnjega sistema z uporabo metode Gauss-Jordan, ki vodi do iste rešitve (x, y, z) = (-2, 2, 1), vendar z dodatnimi koraki za doseganje reducirane stopničaste oblike.