Sistemi di Equazioni Lineari e Sottospazi

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Questions and Answers

Quale operazione viene eseguita nel primo passaggio dell'esempio? (Select all that apply)

  • L'equazione II viene moltiplicata per 5 e sottratta all'equazione I.
  • L'equazione III viene moltiplicata per -1 e sottratta all'equazione II.
  • L'equazione I viene moltiplicata per -5 e sommata all'equazione II.
  • L'equazione I viene moltiplicata per -5 e sottratta all'equazione II. (correct)

Dopo il primo passaggio, quale operazione viene eseguita sulle righe?

  • La riga II viene scambiata con la riga III. (correct)
  • La riga II viene moltiplicata per 4.
  • La riga I viene moltiplicata per 20.
  • La riga III viene moltiplicata per -1.

Quali operazioni vengono eseguite sulla terza riga nel terzo passaggio?

  • La riga III viene moltiplicata per -1 e sommata alla riga II.
  • La riga III viene moltiplicata per -24. (correct)
  • La riga III viene moltiplicata per 20 e sommata alla riga II. (correct)
  • La riga III viene moltiplicata per 12 e sommata alla riga I.

Quale valore per z si ottiene dopo il terzo passaggio?

<p>-5/12 (B)</p> Signup and view all the answers

Il metodo mostrato nell'esempio è un metodo per risolvere un sistema di equazioni lineari.

<p>Il metodo dell'eliminazione di Gauss (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è la formula di Grassmann per due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V finitamente generato?

<p>dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W) (D)</p> Signup and view all the answers

Se W è un sottospazio di V, quale delle seguenti affermazioni è vera?

<p>dim(W) ≤ dim(V) (D)</p> Signup and view all the answers

Quali sono le possibili dimensioni dei sottospazi vettoriali U di R3?

<p>0 ≤ dim(U) ≤ 3 (A)</p> Signup and view all the answers

Come si può ottenere un sistema di equazioni cartesiane per un sottospazio U = <u1, ..., ur> ⊂ Rn?

<p>Trovare un sistema di equazioni lineari omogenee che ha U come insieme di soluzioni. (D)</p> Signup and view all the answers

Quali sono le dimensioni e la base di M2×3(R)?

<p>dim(M2×3(R)) = 6, base = {E11, E12, E13, E21, E22, E23} (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa significa che due sottospazi W e U di uno spazio vettoriale V sono complementari?

<p>W ⊕ U = V (B)</p> Signup and view all the answers

Secondo la definizione di base di uno spazio vettoriale, quali proprietà devono avere i vettori che costituiscono una base?

<p>I vettori devono essere linearmente indipendenti. (C)</p> Signup and view all the answers

Quali sono i sottospazi vettoriali di R2?

<p>Solo {(0, 0)}, rette passanti per (0, 0) e R2. (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è FALSA riguardo al complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale U di Rn?

<p>La dimensione del complemento ortogonale di U è uguale alla dimensione di U. (B)</p> Signup and view all the answers

Se U è un sottospazio vettoriale di Rn e v è un vettore ortogonale a ogni vettore in U, quale delle seguenti affermazioni è VERA?

<p>v appartiene al complemento ortogonale di U. (B)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è VERA riguardo alla proiezione ortogonale di un vettore w su un sottospazio vettoriale U di Rn?

<p>La proiezione ortogonale di w su U è il vettore in U più vicino a w. (B)</p> Signup and view all the answers

Se B = {u1, ..., ur} è una base ortogonale di un sottospazio vettoriale U di Rn, quale delle seguenti affermazioni è FALSA?

<p>Il prodotto scalare tra un vettore in B e un vettore in U è sempre diverso da zero. (D)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è VERA riguardo all'algoritmo di Gram-Schmidt?

<p>L'algoritmo di Gram-Schmidt trasforma una base arbitraria di un sottospazio vettoriale in una base ortogonale. (B)</p> Signup and view all the answers

Se B = {u1, ..., ur} è una base ortonormale di un sottospazio vettoriale U di Rn, quale delle seguenti affermazioni è VERA?

<p>La norma di ogni vettore in B è uguale a 1. (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è il vantaggio principale nell'utilizzare una base ortonormale per un sottospazio vettoriale?

<p>La proiezione ortogonale di un vettore su il sottospazio può essere calcolata facilmente. (D)</p> Signup and view all the answers

Se B = {u1, ..., ur} è una base ortogonale di un sottospazio vettoriale U di Rn, quale delle seguenti operazioni può essere eseguita per trasformare B in una base ortonormale?

<p>Dividere ogni vettore in B per la sua norma. (A)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è FALSA riguardo la diagonalizzabilità di un endomorfismo?

<p>Un endomorfismo f di V è diagonalizzabile se esiste una base B di V composta da autovettori per f. (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è il polinomio caratteristico della matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$?

<p>$X^2 - 5X - 2$ (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è VERA riguardo gli autovettori di un endomorfismo?

<p>Gli autovettori, se esistono, sono linearmente indipendenti. (C)</p> Signup and view all the answers

Quali sono gli autovalori della matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$?

<p>1 e -1 (C)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è FALSA riguardo la relazione tra matrici simili?

<p>Se due matrici hanno lo stesso rango, allora sono simili. (D)</p> Signup and view all the answers

Che cosa significa che una matrice $A$ è diagonalizzabile?

<p>Esiste una matrice invertibile $P$ tale che $P^{-1}AP$ è una matrice diagonale. (B)</p> Signup and view all the answers

Cosa si può dire riguardo a un endomorfismo se il suo polinomio caratteristico ha una radice di molteplicità algebrica maggiore di 1?

<p>L'endomorfismo potrebbe essere diagonalizzabile. (A)</p> Signup and view all the answers

Dato un endomorfismo f: V → V, cosa rappresenta l'autospazio Vλ relativo all'autovalore λ?

<p>L'insieme di tutti i vettori di V che vengono trasformati in un multiplo di se stessi da f, moltiplicato per λ. (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è il valore di $x_1$ nella soluzione particolare del sistema di equazioni lineari (SEL)?

<p>-1 (B)</p> Signup and view all the answers

Quale tra le seguenti equazioni rappresenta la combinazione lineare delle soluzioni del SEL omogeneo?

<p>x1 = t – 2s + 1 (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è il rango della matrice associata al SEL omogeneo?

<p>2 (A)</p> Signup and view all the answers

Quali sono le variabili libere nel SEL omogeneo?

<p>x3 e x4 (D)</p> Signup and view all the answers

Quale tra le seguenti affermazioni è corretta riguardo allo spazio delle righe della matrice associata al SEL?

<p>Lo spazio delle righe è generato dai vettori indipendenti della matrice. (B)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è CORRETTA riguardo all'eliminazione di Gauss-Jordan?

<p>L'eliminazione di Gauss-Jordan trasforma qualsiasi matrice in una matrice a scala ridotta. (A)</p> Signup and view all the answers

Come si può esprimere la soluzione generale del SEL?

<p>Come un vettore costante più una combinazione lineare delle soluzioni del SEL omogeneo. (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è la relazione tra il SEL omogeneo e il SEL non omogeneo?

<p>La soluzione generale del SEL non omogeneo è data dalla soluzione generale del SEL omogeneo più una soluzione particolare del SEL non omogeneo. (D)</p> Signup and view all the answers

Se una funzione lineare FA : R → R è definita come FA−1(B), dove B è un vettore e FA−1(B) rappresenta la controimmagine di B rispetto ad FA, quale affermazione è corretta?

<p>Se esistono soluzioni per il SEL A · X = B, la controimmagine FA−1(B) è espressa come v + ker(A), dove v è una soluzione particolare del SEL e ker(A) è lo spazio nullo della matrice A. (B)</p> Signup and view all the answers

Quale condizione è necessaria affinché un sistema di equazioni lineari (SEL) abbia soluzioni?

<p>La matrice dei coefficienti (A) e la matrice aumentata (A | B) devono avere lo stesso rango. (A)</p> Signup and view all the answers

Che tipo di matrice è definita come invertibile?

<p>Una matrice quadrata che ha un determinante diverso da zero. (B)</p> Signup and view all the answers

Se una matrice A ∈ Mn×n(K) è invertibile, cosa possiamo dire sulla sua funzione lineare FA: Kn → Kn ?

<p>FA è una funzione biunivoca, quindi è sia iniettiva che suriettiva. (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa sono le proiezioni lineari?

<p>Applicazioni lineari che proiettano vettori su un sottospazio vettoriale rispetto ad un altro. (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è l'effetto dell'applicazione di un'operazione elementare su una matrice A?

<p>L'operazione elementare genera una nuova matrice A' che è uguale al prodotto di A per una matrice elementare invertibile E. (A)</p> Signup and view all the answers

Se un SEL ha n incognite e il rango della matrice A è r < n, cosa possiamo dire sulle soluzioni del sistema?

<p>Il sistema ha infinite soluzioni, con n - r gradi di libertà. (D)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è vera per le matrici elementari?

<p>L'applicazione di una matrice elementare ad una matrice A non cambia il rango di A. (A), Tutte le matrici elementari sono matrici quadrate. (B)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Sistema di equazioni

Un insieme di equazioni che devono essere risolte simultaneamente.

Eliminazione Gaussiana

Un metodo per risolvere i sistemi di equazioni attraverso operazioni sulle righe.

Rigore II

Una particolare riga in un sistema di equazioni utilizzata durante l'eliminazione.

Intersezione delle righe

Cambio di posizione tra righe per semplificare il sistema.

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Operazioni elementari

Le operazioni che si possono eseguire per manipolare le righe di un sistema.

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Base di uno spazio vettoriale

Un insieme di vettori linearmente indipendenti che genera lo spazio vettoriale.

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Dimensione di un sottospazio

Il numero di vettori in una base per il sottospazio.

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Formula di Grassmann

Dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W) per sottospazi U e W.

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SEL omogeneo

Un sistema di equazioni lineari che ha come soluzioni un sottospazio U.

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Complementarità di sottospazi

Due sottospazi W e U sono complementari se W ⊕ U = V e W ∩ U = {0}.

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Sottospazi di R^n

Gruppi di punti che formano dimensioni comprese tra 0 e n in uno spazio n-dimensionale.

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Eliminazione dei vettori

Rimuovere vettori che sono combinazioni lineari di altri vettori.

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Vettori linearmente indipendenti

Vettori che non possono essere espressi come combinazione lineare di altri.

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Soluzioni SEL omogeneo

Soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo in forma vettoriale.

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Variabili libere

Variabili che possono assumere valori reali senza restrizioni in un sistema di equazioni lineari.

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Spazio delle righe

Insieme di tutte le combinazioni lineari delle righe di una matrice.

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Spazio delle colonne

Insieme di tutte le combinazioni lineari delle colonne di una matrice.

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Sistemi di equazioni lineari (SEL)

Un insieme di equazioni che devono essere soddisfatte simultaneamente.

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Parametri t e s

Variabili che rappresentano coefficienti in combinazioni lineari di soluzioni.

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Soluzione particolare

Una soluzione specifica che soddisfa il sistema di equazioni.

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Complemento ortogonale

Il sottospazio U ⊥ contiene vettori v tali che v · u = 0 per ogni u in U.

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Dimensione del complemento ortogonale

Se dim(U) = r, allora dim(U ⊥) = n − r.

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Proiezione ortogonale

w può essere scritto come w′ + w⊥, con w′ in U e w⊥ in U ⊥.

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Distanza minima da U

La norma ∥w⊥∥ rappresenta la distanza minima di w da U.

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Base ortogonale

Una base B è ortogonale se ui · uj = 0 per ogni i ≠ j.

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Base ortonormale

Una base è ortonormale se i suoi vettori hanno norma 1 oltre ad essere ortogonali.

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Formula di proiezione ortogonale

La proiezione di w su U è data da somme di proiezioni su ciascun u in B.

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Algoritmo di Gram-Schmidt

Un metodo per convertire una base in una base ortogonale.

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Matrici simili

Due matrici A e B sono simili se esiste una matrice invertibile P tale che A = PBP⁻¹.

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Endomorfismo

Funzione f: Kⁿ → Kⁿ che mappa un vettore nello stesso spazio.

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Diagonalizzabilità

Un endomorfismo f è diagonalizzabile se esiste una base di V formata da autovettori di f.

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Autovalore

Uno scalare λ di f che soddisfa f(v) = λ·v per un autovettore v.

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Autovettore

Un vettore v non nullo tale che f(v) = λ·v per un autovalore λ.

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Autospazio

Sottospazio Vλ di f composto da vettori v che soddisfano f(v) = λ·v.

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Polinomio caratteristico

pf(X) = det(A - X·In), usato per trovare autovalori di f.

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Criterio di diagonalizzabilità

Un endomorfismo è diagonalizzabile se esiste una base di autovettori.

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Controimmagine

Insieme delle soluzioni dell'equazione A · X = B, sottintendendo la funzione FA.

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Teorema Rouché-Capelli

Determina condizioni per la soluzione del sistema A · X = B tramite i ranghi di A e B.

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Matrice invertibile

Matrice quadrata A per la quale esiste una matrice B tale che A · B = I.

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Automorfismo

Funzione lineare FA che è biunivoca, implica matrice invertibile.

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Proiezione

Applicazione lineare che decomprime un vettore v in componenti uniche u e w.

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Rango di una matrice

Numero massimo di righe linearmente indipendenti in una matrice.

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Kernel di A

Insieme delle soluzioni della equazione omogenea A · X = 0.

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Study Notes

Riepilogo Lezione 1

  • I numeri complessi (C) si introducono con l'unità immaginaria (i), dove i² = -1 (i = √-1).
  • Un numero complesso è scritto come z = a + ib, dove a, b ∈ R.
  • Re(z) = a è la parte reale di z.
  • Im(z) = b è la parte immaginaria di z.
  • Somma di numeri complessi: z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂).
  • Prodotto di numeri complessi: z₁ · z₂ = (a₁a₂ – b₁b₂) + i(a₁b₂ + a₂b₁).
  • Inverso di z₁ (se z₁ ≠ 0): z₁⁻¹ = (a₁ - i b₁) / (a₁² + b₁²).
  • Coniugato di z₁: z₁ = a₁ - i b₁.

Riepilogo Lezione 2

  • Rappresentazione di un numero complesso (a + ib) nel piano cartesiano (a,b).
  • Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso: ρ = √(a² + b²) è il modulo e θ = arctan(b/a) è l'argomento.
  • Radici m-esime di un numero complesso: z = ρ· (cosθ + i sin θ) , dove ρ ≥ 0 e θ ∈ [0, 2π). Le radici m-esime sono date da zₖ = ρ^(1/m) · (cos((θ + 2πk)/m) + i sin((θ + 2πk)/m)), con k = 0, 1, ..., m - 1.
  • Rappresentazione esponenziale: z = ρ · e^(iθ).

Riepilogo Lezione 3

  • Definizione di spazio vettoriale V su un campo K: insieme non vuoto, con due operazioni di somma di vettori e di prodotto di vettori per scalari.
  • Esempi di spazi vettoriali: Rⁿ, R², R³, polinomi a coefficienti in un campo K, funzioni continue, matrici a coefficienti in un campo K.
  • Anticipazione: le soluzioni di un sistema lineare omogeneo formano uno spazio vettoriale.

Riepilogo Lezione 4

  • Combinazione lineare di vettori v₁, ..., vₙ in V (spazio vettoriale su un campo K) è data da v = a₁v₁ + ... + aₙvₙ, dove a₁, ..., aₙ ∈ K.
  • I vettori v₁, ..., vₙ sono linearmente indipendenti se a₁v₁ + ... + aₙvₙ = 0 implica a₁ = ... = aₙ = 0.
  • Esempio di combinazione lineare di vettori in R³.

Riepilogo Lezione 5

  • Definizione di sottospazio vettoriale U di uno spazio vettoriale V: un sottoinsieme di V che contiene il vettore nullo e chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalari.
  • Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n variabili formano uno sottospazio vettoriale di Rⁿ (e viceversa!).
  • Intersezione e somma di sottospazi vettoriali.
  • W₁ + W₂ è il più piccolo sottospazio che contiene W₁ e W₂. L'unione di sottospazi non è un sottospazio in generale.

Riepilogo Lezione 6

  • Definizione di base di uno spazio vettoriale V su un campo K: un insieme di vettori v₁, ..., vₙ che generano V e sono linearmente indipendenti.
  • Esempio di base canonica di R³.
  • Lemma dello scambio. Se V è generato da n vettori, allora ogni insieme {W₁, ..., Wₙ} ⊂ V linearmente indipendente ha al più n vettori (r ≤ n).
  • Corollario: due basi di uno stesso spazio vettoriale V hanno lo stesso numero di vettori, detto dimensione di V e indicato con dim(V).
  • Applicazione: la dimensione dello spazio delle soluzioni di una equazione lineare omogenea U : a₁x₁ + ... + aₙxₙ = 0 (U⊂Rⁿ) è n − 1.

Riepilogo Lezione 7

  • Osservazione: un insieme B = {v₁, ..., vₙ} è base di V se Bè linearmente indipendente o B è insieme generatori di V.
  • Coordinate del vettore v ∈ V rispetto ad una base B = {v₁, ..., vₙ}.
  • Esempio: base canonica di Rⁿ.
  • Osservazione: Q[X] è uno spazio vettoriale non finitamente generato. Se n ≥1, allora Q[X]≤n (polinomi di grado ≤ n) ha dimensione n + 1.

Riepilogo Lezione 8

  • Estrazione di una base da un insieme generatore in uno spazio vettoriale.
  • Corollario: ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base.
  • Completamento ad una base.
  • Dimensione di un sottospazio.

Riepilogo Lezione 9

  • Formula di Grassmann.
  • Equazioni cartesiane di sottospazi di Rⁿ.

Riepilogo Lezione 10

  • Sottospazi vettoriali di R² e R³.
  • Base di Mmxn (R).
  • Matrici e sottospazi complementari.

e così via... (continua con i riepiloghi delle altre lezioni)

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