Sistemas Numéricos y Sistemas de Cómputo

Sistemas Numéricos e Introducción a los Sistemas de Computo

• El estudio abarca sistemas numéricos y una introducción a los sistemas de computo.

¿Por qué el Sistema Binario?

• Inicialmente, las computadoras usaban el sistema decimal.
• ENIAC y Mark I son ejemplos de computadoras que utilizaban el sistema decimal.
• John von Neumann propuso el procesamiento de datos de forma binaria en 1945.
• El sistema binario ofrece un diseño simplificado.
• Se utiliza para instrucciones y datos.
• Representa una relación natural de encendido y apagado usando la lógica booleana.
• En lógica booleana, "On" se corresponde con "Verdadero", "Sí" y el número 1.
• En lógica booleana, "Off" se corresponde con "Falso", "No" y el número 0.

Sistemas de Numeración

• El sistema decimal, o base 10, tiene su origen en el uso de los dedos de las manos para contar.
• La palabra "Dígito" proviene del latín "digitus", que significa "dedo".
• La base incluye los números del 0 al 9.
• El sistema binario es base 2.
• Un bit (dígito binario) consta de 2 dígitos: 0 y 1.
• El sistema octal es base 8, e incluye 8 dígitos que van del 0 al 7.
• El sistema hexadecimal es base 16, incluyendo 16 dígitos del 0 a la F.
• 10 en base 10 es igual a A en base 16; 11 en base 10 es igual a B en base 16.

Conceptos de Bits

• Los bits se manipulan y almacenan en grupos.
• 8 bits equivalen a 1 byte.
• 4 bytes equivalen a 1 palabra en muchos sistemas.
• El número de bits utilizados en los cálculos afecta la exactitud de los resultados.
• Limita el tamaño de los números manipulados por la computadora.

Números: Representación Física

• Diferentes sistemas numéricos pueden representar el mismo número de objetos.
• En números Romanos, 5 se representa con V
• En números arábigos 5 se representa con 5
• Diferentes bases pueden representar el mismo número de objetos.
• 5 en base 10, 101 en base 2, y 12 en base 3 representan la misma cantidad.

Sistema Numérico

• Los números Romanos son independientes de la posición.
• Los sistemas numéricos modernos se basan en la notación posicional (valor de la posición).
• El sistema decimal utiliza una notación posicional basada en potencias de 10.
• El sistema binario utiliza una notación posicional basada en potencias de 2.
• El sistema octal utiliza una notación posicional basada en potencias de 8.
• El sistema hexadecimal utiliza una notación posicional basada en potencias de 16.

Notación Posicional: Base 10

• En el número 43, que es igual a (4 x 10^1) + (3 x 10^0), la posición del 10 es 1 y la posición del 1 es 0
• En el número 527, que es igual a (5 x 10^2) + (2 x 10^1) + (7 x 10^0), la posición del 100 es 2, la posición del 10 es 1, la posición del 1 es 0

Notación Posicional: Octal

• 624 en base 8 es igual a 404 en base 10.
• La calculación se realiza de la siguiente manera:
• (6 x 8^2) + (2 x 8^1) + (4 x 8^0)
• (6 x 64) + (2 x 8) + (4 x 1)
• 384 + 16 + 4
• 404

Notación Posicional: Hexadecimal

• 6,704 en base 16 es igual a 26,372 en base 10.
• La calculación se realiza de la siguiente manera:
• (6 x 16^3) + (7 x 16^2) + (0 x 16^1) + (4 x 16^0)
• (6 x 4,096) + (7 x 256) + (0 x 16) + (4 x 1)
• 24,576 + 1,792 + 0 + 4
• 26,372

Notación Posicional: Binario

• 1101 0110 en base 2 es igual a 214 en base 10.
• La calculación se realiza de la siguiente manera:
• (1 x 2^7) + (1 x 2^6) + (0 x 2^5) + (1 x 2^4) + (0 x 2^3) + (1 x 2^2) + (1 x 2^1) + (0 x 2^0)
• (1 x 128) + (1 x 64) + (0 x 32) + (1 x 16) + (0 x 8) + (1 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1)
• 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0
• 214

Calculando Magnitud: Binario

• 1101 0110 en base 2 es mayor que 192 en base 10
• La calculación se realiza de la siguiente manera: -(1 x 2^7) + (1 x 2^6) + (0 x 2^5) + (1 x 2^4) + (0 x 2^3) + (1 x 2^2) + (1 x 2^1) + (0 x 2^0)
• (1 x 128) + (1 x 64) + (0 x 32) + (1 x 16) + (0 x 8) + (1 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1)
• 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0
• 192

Bases

• Una base es un número o símbolo requerido para representar cualquier número dado.
• Cuanto más grande sea la base, mayor será la cantidad de numerales requeridos.
• La base 10 requiere los siguientes números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• La base 2 requiere los siguientes números: 0, 1.
• La base 8 requiere los siguientes números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
• La base 16 requiere los siguientes números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Conteo en Base 2

• Tabla de equivalencias entre números binarios y decimales, mostrando la representación de los números del 0 al 10 en base 2.

Conversión desde Base 10

• La tabla de potencias proporciona los valores de las potencias de 2, 8 y 16, desde 2^0 hasta 2^8.

De Base 2 a Base 10

• Cualquier número binario se puede convertir a su equivalente decimal sumando los pesos de las diferentes posiciones en el número binario que contiene un 1.
• Ejemplo: Convertir 10110 en base 2 a su equivalente decimal: 22 en base 10.

De Base 10 a Base 2

• El método de conversión de decimal a número binario se puede utilizar para convertir de base decimal a cualquier base.
• Implica una división sucesiva entre la base hasta que el dividendo sea cero.
• En cada división, el valor residuo es el dígito del número convertido, iniciando con el bit menos significativo.
• Ejemplo: convertir 333 en base 10, a 101001101 en base 2, dividiendo 333 entre 2 hasta llegar a 0.
• Ejemplo: convertir 42 en base 10, a 101010 en base 2, dividiendo 42 entre 2 hasta llegar a 0.

De Base 10 a Base 16

• Ejemplo: Convertir 5,735 en base 10 a 1667 en base 16
• Calculando 5,735 base 10 a base 16, resulta en 1667 dividiendo entre 16 hasta llegar a 0.

De Base 8 a Base 2

• La ventaja principal del sistema de numeración octal es la facilidad para hacer las conversiones entre números binarios y octales.
• Esto se realiza convirtiendo cada dígito octal a su equivalente en binario de tres dígitos.
• Ejemplo:
• 7 equivale a 111
• 6 equivale a 110
• 5 equivale a 101
• 4 equivale a 100
• 3 equivale a 011
• 2 equivale a 010
• 1 equivale a 001
• 0 equivale a 000
• Ejemplo: 472 octal es equivalente a 100111010 binario
• Ejemplo: 7263 en base 8 es igual a 3,763 en base 10.
• (7 x 8^3) + (2 x 8^2) + (6 x 8^1) + (3 x 8^0)
• (x 512) + (x 64) + (x 8) + (x 1)
• 3,584 + 128 + 48 + 3
• 3,763
• Ejemplo: 7263 en base 8 es igual a 3,763 en base 10.
• (7 x 8) = 56 + 2 = 58
• (58 x 8) = 464 + 6 = 470
• (470 x 8) = 3760 + 3 = 3,763

De Base 16 a Base 2

• Sistemas operativos modernos y redes de computadoras presentan soluciones a problemas en formato hexadecimal.
• Ejemplos:
• 1 equivale a 0001
• F equivale a 1111
• 6 equivale a 0110
• 7 equivale a 0111
• El sistema de numeración hexadecimal se utiliza principalmente como un método "taquigráfico" para representar números binarios.
• Cada dígito hexadecimal se convierte a su equivalente binario de cuatro dígitos.
• Ejemplos:
• 9 equivale a 1001
• F equivale a 1111
• 2 equivale a 0010
• La conversión de binario a hexadecimal es exactamente el inverso del proceso anterior.
• El número binario se agrupa en conjuntos de cuatro bits y cada conjunto se convierte a su dígito equivalente hex.
• Los ceros se agregan, según sea necesario, para completar un conjunto de cuatro bits y convertirlo a hexadecimal.
• Convertir 1110100110 en base 2 a hex:
• Se separa en 0011 1010 0110
• 3 equivale a el grupo 0011
• A equivale a el grupo 1010
• 6 equivale a el grupo 0110

De Base 16 a Base 10

• Un número hexadecimal se puede convertir a su equivalente decimal multiplicando cada dígito hexadecimal por la potencia de 16 según su posición.
• El bit menos significativo (LSB) tiene un peso de 16^0=1; la siguiente posición mayor del dígito tiene un peso de 16^1=16 y así sucesivamente.
• Ejemplo:
• 356 en base 16 = (6 x 16^0) + (5 x 16^1) + (3 x 16^2)
• = 6 + 80 + 768
• = 854 en base 10
• Ejemplo:
• 2AF en base 16 = (15 x 16^0) + (10 x 16^1) + (2 x 16^2)
• = 15 + 160 + 512
• = 687 en base 10