Sistemas de ecuaciones lineales: Sustitución y Gauss

Sistemas de ecuaciones lineales

• Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones con constantes y variables.
• Las variables son $x_j$.
• Las constantes son $a_{ij}$ y $b_i$.
• Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden resolver usando la sustitución, la eliminación de Gauss y la eliminación de Gauss-Jordan.

Método de Sustitución

• En el método de sustitución, una variable se expresa en términos de otras en una ecuación y se sustituye en otras ecuaciones.

Método de eliminación de Gauss

• En el método de eliminación de Gauss, el sistema se transforma en un sistema escalonado equivalente, donde cada ecuación tiene una variable menos que la anterior.

Método de Gauss-Jordan

• El método de Gauss-Jordan transforma el sistema en un sistema escalonado reducido equivalente, donde cada variable aparece en una sola ecuación con un coeficiente de 1.

Ejemplo 1

• El sistema de ecuaciones $x + y = 3$ y $x - y = 1$ se soluciona por sustitución.
• Primero, se expresa $x$ como $3 - y$.
• Luego, se sustituye en la segunda ecuación: $(3 - y) - y = 1$, lo que resulta en $y = 1$.
• Finalmente, se sustituye $y$ en la primera ecuación: $x + 1 = 3$, dando $x = 2$.
• La solución final es $x = 2$ y $y = 1$.

Ejemplo 2

• Se resuelve el sistema $2x + y = 5$ y $x - y = 1$ usando eliminación de Gauss.
• El sistema se escribe en forma matricial.
• Se realizan operaciones elementales para obtener una forma escalonada.
• La solución resultante del sistema escalonado es $y = 1$ y $x = 2$.

Aplicaciones

• Los sistemas de ecuaciones lineales tienen aplicaciones en física, ingeniería, economía e informática.

Funciones de clasificación

• Se comparan varios clasificadores para una tarea de clasificación binaria.
• Los clasificadores incluyen: regresión logística, árbol de decisión, Random Forest, Gradient Boosting, SVM, KNN y MLP.

Métricas

• Las métricas de rendimiento incluyen exactitud, precisión, recall, F1-score, tiempo de entrenamiento y tiempo de predicción.

Resultados de clasificación

• Random Forest tiene el rendimiento más alto en exactitud, precisión, recall y F1-score.
• KNN tiene el tiempo de entrenamiento más rápido.
• El tiempo de predicción más rápido es del árbol de decisión.

Ecuación lineal

• Ecuación que tiene la forma $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$.
• Las $x_i$ son las incógnitas.
• Las $a_i$ son los coeficientes.
• $b$ es el término independiente.

Sistemas de ecuaciones lineales

• Conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas incógnitas.

Solución de sistemas de ecuaciones lineales

• Un conjunto de valores para las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.
• Geométricamente, representa la intersección de las líneas o planos representados por las ecuaciones.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

• Sistema Compatible Determinado (SCD): una única solución.
• Sistema Compatible Indeterminado (SCI): infinitas soluciones.
• Sistema Incompatible (SI): no tiene solución.

Métodos de resolución de ecuaciones lineales

• Métodos comunes de resolución son sustitución, igualación, reducción, Gauss y Cramer.

Operaciones de Negociación Algorítmica

• También conocida como negociación automatizada o "black-box".
• Implica el uso de programas informáticos para seguir instrucciones predefinidas para realizar una operación.
• Estos algoritmos están basados en: tiempo, precio, cantidad y modelos matemáticos.

Estrategias comunes en la negociación algorítmica

• Seguimiento de tendencias, arbitraje y creación de mercado.

Oportunidades de arbitraje

• Involucran la identificación de diferencias de precios para el mismo activo en diferentes mercados donde el activo es más barato y venderlo donde es más caro.

Ejecución de una orden algorítmica

• El objetivo es minimizar el impacto de la orden en el precio de mercado.
• Implica dividir una orden grande en partes más pequeñas.

VWAP

• La sigla quiere decir Volume-Weighted Average Price (Precio Promedio Ponderado por Volumen).
• VWAP busca para ejecutar órdenes que coincidan con el precio promedio ponderado por volumen de una acción durante un período determinado.
• La formula para calcularlo es:
• $VWAP = \frac{\sum_{i=1}^{n} P_i * V_i}{\sum_{i=1}^{n} V_i}$

TWAP

• La sigla quiere decir Time-Weighted Average Price (Precio Promedio Ponderado por Tiempo).
• TWAP ejecuta órdenes para que coincidan con el precio promedio ponderado por tiempo de una acción durante un período determinado.
• La formula para calcularlo es: $TWAP = \frac{\sum_{i=1}^{n} P_i}{n}$

Ventajas de la negociación algorítmica

• Mayor velocidad de ejecución, costos de transacción reducidos y mayor eficiencia.

Desventajas de la negociación algorítmica

• Requiere tecnología y experiencia sofisticadas, pudiendo ser objeto de fallos técnicos que pueden llevar a resultados no deseados.

Modelos de lenguaje autorregresivos

• Éstos predicen la probabilidad de una palabra dadas las palabras anteriores en una secuencia.
• Modelan la probabilidad $P(x_t | x_1,..., x_{t-1})$.
• Estos modelos utilizan sus propias predicciones anteriores para hacer nuevas predicciones.

Componentes típicos de modelos autorregresivos

• Una capa de incrustación, capas de redes neuronales recurrentes (RNN), una capa softmax.

Capa de incrustación

• Convierte las palabras de entrada en vectores de números continuos.

RNN

• Estas capas procesan la secuencia de incrustaciones de palabras, produciendo un estado oculto en cada posición.
• El estado oculto contiene información sobre las palabras anteriores.

Capa softmax

• Convierte el estado oculto en una distribución de probabilidad sobre el vocabulario.

Ventajas modelos de lenguaje autorregresivos

• Pueden generar texto de alta calidad.
• Son relativamente fáciles de entrenar.
• Se pueden utilizar para diversas tareas.

Desventajas modelos de lenguaje autorregresivos

• Pueden ser computacionalmente costosos de entrenar y usar.
• Son propensos a la propagación de errores.
• Pueden estar sesgados.

Definición de matriz

• Una matriz $A$ es un esquema rectangular de números con $m$ filas y $n$ columnas.

Tipos especiales de matrices

• Matriz nula, matriz cuadrada, matriz diagonal y matriz identidad.

Vectores

• Vector fila y vector columna.

Operaciones matriciales

• Suma de matrices, multiplicación escalar y multiplicación de matrices.

Reglas de cálculo

• Reglas para la suma de matrices, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.

Matriz transpuesta

• La transpuesta $A^T$ de una matriz $A$ se obtiene intercambiando sus filas y columnas.

Reglas para la transposición

• Reglas para la transposición de sumas, productos escalares y productos de matrices.

Matriz inversa

• La inversa $A^{-1}$ de una matriz $A$ satisface $A^{-1} A = A A^{-1} = I_n$, donde $I_n$ es la matriz identidad.

Reglas de cálculo para inversas

• Reglas para la inversa de una inversa, un producto y una transpuesta.

Teoría de juegos algorítmica

• Intersección entre la teoría de juegos y el diseño de algoritmos.
• La teoría de juegos modela la interacción estratégica entre agentes racionales.
• El diseño de algoritmos busca algoritmos eficientes para problemas reales.

Enrutamiento egoísta

• Modelo con nodos conectados por aristas, cada arista tiene una función de costo.
• Los jugadores ajustan su ruta para minimizar su propio costo.
• El equilibrio de Nash ocurre cuando ningún jugador puede reducir su costo cambiando unilateralmente su ruta.

Precio de la anarquía

• Mide la pérdida de eficiencia debido al comportamiento egoísta.
• Es la relación del costo social del peor equilibrio de Nash al costo social del flujo óptimo.
• Para funciones de costo lineal, el precio de la anarquía es como máximo $4/3$.

Diseño de mecanismos

• El objetivo es diseñar las reglas de un juego para lograr un resultado deseado, considerando que los jugadores actuarán estratégicamente.
• Subastas: vender un artículo al jugador que más lo valora incentivando a los jugadores a revelar sus verdaderos valores.

Cinética química

• Estudia las velocidades de las reacciones químicas.
• La velocidad de reacción indica la rapidez con que los reactivos se consumen o los productos se forman.

Ley de velocidad diferencial

• Relaciona la velocidad de una reacción con las concentraciones de los reactivos.
• Para la reacción general: $aA + bB \longrightarrow cC + dD$, la ley de velocidad es: velocidad = $k[A]^x[B]^y$.
• Los exponentes $x$ e $y$ se determinan experimentalmente y no son los coeficientes estequiométricos.

Reacciones de primer orden

• Su velocidad depende de la concentración de un solo reactivo elevado a la primera potencia.
• Ley de velocidad diferencial: velocidad = $k[A]$.
• Vida media: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$.
• La vida media es constante y no depende de la concentración inicial.

Fórmulas y distribuciones estadísticas

• Para las estadísticas se tiene las siguientes formula de interés.

Media

• $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

Desviación estándar

• $s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

Rango intercuartílico

• Se calcula de la siguiente manera: $IQR = Q_3 - Q_1$

Probabilidad

• Regla de adición: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Probabilidad condicional: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Distribuciones discretas

• Distribución binomial: $P(X=x) = {n \choose x} p^x (1-p)^{n-x}$.
• Distribución de Poisson: $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$.

Distribuciones continuas

• Distribución normal: $P(X \le x) = P(Z \le \frac{x - \mu}{\sigma})$.

Intervalos de confianza

• Media (σ conocido): $\bar{x} \pm z^* \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
• Media (σ desconocido): $\bar{x} \pm t_{n-1}^* \frac{s}{\sqrt{n}}$.
• Proporción: $\hat{p} \pm z^* \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.

Pruebas de hipótesis

• Prueba z de una muestra: $z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$.
• Prueba t de una muestra: $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ con $df = n-1$.
• Prueba t de dos muestras: $t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$.
• Prueba t pareada: $t = \frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}$ con $df = n-1$.
• Prueba z de una proporción: $z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$.
• Prueba z de dos proporciones: $z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$.
• Prueba de chi-cuadrado: $\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$.