Series Infinitas y Análisis de Funciones

Series Infinitas

• Definición: Suma de una secuencia infinita de términos.
• Convergencia: Una serie converge si la suma de sus términos tiende a un número finito.
  • Criterios de convergencia:
    • Prueba de la serie geométrica.
    • Prueba de comparación.
    • Prueba de la integral.
    • Prueba de la razón.
    • Prueba de Raabe.
• Series de potencias: Series de la forma Σ aₙ(x-c)ⁿ, que converge en un intervalo alrededor de c.
• Series de Taylor y Maclaurin: Representaciones de funciones como series infinitas, basadas en derivadas.

Análisis De Funciones

• Definición: Estudio del comportamiento de funciones y sus propiedades.
• Continua: Una función es continua si no presenta saltos o discontinuidades.
• Derivabilidad: Una función es derivable si tiene una derivada en cada punto de su dominio.
• Teoremas importantes:
  • Teorema del valor intermedio.
  • Teorema de Bolzano-Weierstrass: cada sucesión acotada de números reales tiene una subsecuencia convergente.

Espacios Métricos

• Definición: Un conjunto con una función de distancia (métrica) que mide la separación entre puntos.
• Propiedades de la métrica:
  • No negatividad.
  • Simetría.
  • Desigualdad triangular.
• Convergencia: Una sucesión converge en un espacio métrico si para cualquier ε > 0 existe un N tal que para n > N, la distancia entre los elementos de la sucesión y el límite es menor que ε.
• Compacidad: Un espacio métrico es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita.

Números Reales y Números Complejos

• Números Reales:

  • Representan cantidades en la recta numérica.
  • Se dividen en racionales (fracciones) e irracionales (no se pueden expresar como fracción).
  • Propiedades: denso, completitud, orden total.

• Números Complejos:

  • Formato: z = a + bi, donde a y b son reales, i es la unidad imaginaria (i² = -1).
  • Representación gráfica en el plano complejo (plano de Argand).
  • Operaciones: suma, resta, multiplicación y división de complejos.
  • Módulo y argumento: |z| = √(a² + b²), arg(z) = atan(b/a).
  • Teorema de De Moivre: (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ)).

Series Infinitas

• Suma de una secuencia infinita de términos.
• Una serie converge si la suma de sus términos tiende a un número finito.
• Criterios de convergencia incluyen:
  • Prueba de la serie geométrica, que establece condiciones específicas para la convergencia en series de ese tipo.
  • Prueba de comparación, que compara una serie con otra conocida para determinar su convergencia.
  • Prueba de la integral, que utiliza integrales para analizar la convergencia de series.
  • Prueba de la razón, que examina el límite de la razón entre términos sucesivos.
  • Prueba de Raabe, una extensión de la prueba de la razón.
• Series de potencias tienen la forma Σ aₙ(x-c)ⁿ y presentan convergencia en un intervalo alrededor del punto c.
• Series de Taylor y Maclaurin representan funciones como series infinitas, utilizando derivadas para hallar términos de la serie.

Análisis De Funciones

• Estudio del comportamiento y propiedades de funciones.
• Una función es continua si no presenta saltos o discontinuidades en su graficación.
• Una función es derivable en su dominio si puede calcularse su derivada en cada punto.
• Teoremas importantes:
  • Teorema del valor intermedio, que garantiza que entre dos valores de una función continua se encuentra al menos un valor intermedio.
  • Teorema de Bolzano-Weierstrass establece que toda sucesión acotada de números reales tiene una subsecuencia que converge.

Espacios Métricos

• Conjunto que incluye una función de distancia (métrica) para medir la separación entre puntos.
• Propiedades de la métrica:
  • No negatividad: la distancia nunca es negativa.
  • Simetría: la distancia de A a B es igual a la de B a A.
  • Desigualdad triangular: la distancia de A a C es menor o igual que la suma de las distancias de A a B y de B a C.
• Convergencia en un espacio métrico se da si, para cualquier ε > 0, existe un N tal que para n > N, la distancia del término de la sucesión al límite es menor que ε.
• Un espacio métrico es compacto si tiene la propiedad de que cada cubierta abierta admite una subcubierta finita.

Números Reales y Números Complejos

• Los números reales representan cantidades a lo largo de la recta numérica, clasificándose en racionales (fracciones) e irracionales (no expresables como fracción).
• Propiedades de los números reales incluyen:
  • Densidad: entre dos números reales hay siempre otro número real.
  • Completitud: toda sucesión acotada tiene límite.
  • Orden total: los números reales pueden ser ordenados.
• Números complejos se expresan en formato z = a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, cumpliendo que i² = -1.
• En el plano complejo (plano de Argand), se representan gráficamente.
• Operaciones oscilan entre suma, resta, multiplicación y división de números complejos.
• Módulo y argumento son importantes, donde el módulo se calcula como |z| = √(a² + b²) y el argumento como arg(z) = atan(b/a).
• Teorema de De Moivre establece que (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ)), facilitando cálculos con potencias de números complejos.

Este cuestionario cubre conceptos clave sobre series infinitas y análisis de funciones. Incluye definiciones, criterios de convergencia y propiedades fundamentales como continuidad y derivabilidad. A través de este quiz, podrás evaluar tu comprensión de estas importantes temáticas matemáticas.