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Questions and Answers
यदि n = 10 और r = 3 हो, तो nCr का मान क्या होगा?
यदि n = 10 और r = 3 हो, तो nCr का मान क्या होगा?
संयोजन में nC0 का मान क्या होता है?
संयोजन में nC0 का मान क्या होता है?
यदि 5 पुरुषों में से 3 का चयन करना है, तो संभव चयन की संख्या क्या होगी?
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NPr को nCr से कैसे प्राप्त किया जा सकता है?
NPr को nCr से कैसे प्राप्त किया जा सकता है?
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यदि n = 7 हो और r = 5 हो, तो nP1 और nC1 का मान क्या होगा?
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संयोजन का उपयोग किस प्रकार की समस्याओं को हल करने में किया जाता है?
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NCn का मान क्या होता है?
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यदि हमें 7 पुरुषों में से 5 और 3 महिलाओं में से 2 का चयन करना हो, तो संभावित तरीकों की संख्या क्या होगी?
यदि हमें 7 पुरुषों में से 5 और 3 महिलाओं में से 2 का चयन करना हो, तो संभावित तरीकों की संख्या क्या होगी?
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एक सिक्के को तीन बार उछालने पर सभी तीनों उछालों में सिर आने की प्रायिकता क्या है?
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यदि एक सिक्के को n बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणामों की संख्या क्या होती है?
यदि एक सिक्के को n बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणामों की संख्या क्या होती है?
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यदि तीन सिक्कों को उछाला जाता है, तो ना तो तीन सिर और ना ही तीन पूँछ प्राप्त होने की प्रायिकता कितनी है?
यदि तीन सिक्कों को उछाला जाता है, तो ना तो तीन सिर और ना ही तीन पूँछ प्राप्त होने की प्रायिकता कितनी है?
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एक सिक्के को उछालने पर सिर आने की प्रायिकता क्या है?
एक सिक्के को उछालने पर सिर आने की प्रायिकता क्या है?
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कम से कम एक पूँछ आने की प्रायिकता एक सिक्के को तीन बार उछालने पर क्या होती है?
कम से कम एक पूँछ आने की प्रायिकता एक सिक्के को तीन बार उछालने पर क्या होती है?
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एक सिक्के को न बार उछालने पर तात्कालिक परिणामों की कुल संख्या का सूत्र क्या है?
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यदि नौ सिक्कों को उछाला जाता है, तो अधिकतम दो पूँछ आने की प्रायिकता क्या है?
यदि नौ सिक्कों को उछाला जाता है, तो अधिकतम दो पूँछ आने की प्रायिकता क्या है?
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एटलीस्ट का अर्थ क्या है?
एटलीस्ट का अर्थ क्या है?
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जब हम 'और' की संभावना की गणना करते हैं, तो हमें क्या करना चाहिए?
जब हम 'और' की संभावना की गणना करते हैं, तो हमें क्या करना चाहिए?
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जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो कितने कुल परिणाम होते हैं?
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एट मोस्ट का अर्थ क्या होता है?
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यदि चार सिक्कों को उछाला जाता है, तो कम से कम तीन सिक्कों पर सिर या टेल आने की प्रायिकता क्या है?
यदि चार सिक्कों को उछाला जाता है, तो कम से कम तीन सिक्कों पर सिर या टेल आने की प्रायिकता क्या है?
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Study Notes
संयोजन (कॉम्बिनेशन)
- संयोजन उन तरीकों की संख्या है जिनसे n ऑब्जेक्ट्स में से r ऑब्जेक्ट्स को चुना जा सकता है, बिना क्रम को ध्यान में रखे, इसे nCr के रूप में लिखा जाता है।
- संयोजन का सूत्र है: nCr = n! / (r! * (n-r)!)
- यह क्रमचय (परम्यूटेशन) से संबंधित है, जो क्रम को ध्यान में रखता है।
- nCr को परम्यूटेशन nPr को r! से विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है।
कुछ महत्वपूर्ण स्थितियाँ
- nCn = 1
- nC0 = 1
- nC1 = n
- nP1 और nC1 दोनों ही 1 के बराबर होते हैं।
- nP0 और nC0 दोनों ही 1 के बराबर होते हैं।
संयोजन के उपयोग
- संयोजन का उपयोग विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने में होता है, जैसे संभावित टीमों का चयन, किसी समूह से कुछ सदस्यों का चयन, और विभिन्न तरीकों से कार्डों का चयन।
संयोजन के ट्रिक्स
- nCr के लिए, n को r टर्म तक लिखें और r! से विभाजित करें।
- उदाहरण: 12C4 = 12 * 11 * 10 * 9 / 4! = 495
"एंड" और "और" का उपयोग
- "एंड" का मतलब है दोनों संभावनाओं को गुणा करना।
- "और" का मतलब है दोनों संभावनाओं को गुणा करना।
समस्या का समाधान
- समस्या में हमें 7 पुरुषों में से 5 चुनना है और 3 महिलाओं में से 2 चुनना है।
- दोनों संभावनाओं को "एंड" से जोड़ा गया है, इसलिए हम उनका गुणा करेंगे।
- संभव तरीकों की संख्या होगी: 7C5 * 3C2 = (7! / (5! * 2!)) * (3! / (2! * 1!)) = 21 * 3 = 63
निष्कर्ष
- संयोजन एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो प्रायिकता और सांख्यिकी में कई प्रकार की समस्याओं को हल करने में मदद करती है।
- महत्वपूर्ण सूत्रों और ट्रिक्स को जानना सवालों को जल्दी और सटीक हल करने में मदद करेगा।
संभावना (Probability)
- संभावना किसी घटना के होने की संभावना का अध्ययन है।
- किसी घटना की संभावना 0 और 1 के बीच होती है।
- 0 का अर्थ है कि घटना असंभव है, और 1 का अर्थ है कि घटना निश्चित है।
सिक्कों का उछाल (Tossing Coins)
- किसी सिक्के के दो पहलू होते हैं: सिर (Head) और पूँछ (Tail)।
- एक निष्पक्ष सिक्के के लिए सिर और पूँछ आने की संभावना समान होती है।
- n बार सिक्का उछालने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या 2^n होती है।
नमूना स्थान (Sample Space)
- नमूना स्थान सभी संभावित परिणामों का समूह है।
- एक सिक्के को उछालने पर नमूना स्थान {सिर, पूँछ} होता है।
- दो सिक्कों को उछालने पर नमूना स्थान {सिर-सिर, सिर-पूँछ, पूँछ-सिर, पूँछ-पूँछ} होता है।
संभावना की गणना (Calculating Probability)
- किसी घटना की संभावना = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या
- उदाहरण के लिए, एक सिक्के को उछालने पर सिर आने की संभावना 1/2 होती है क्योंकि एक अनुकूल परिणाम (सिर) है और कुल दो परिणाम (सिर और पूँछ) हैं।
"और" और "या" (AND and OR)
- "और" का अर्थ है दोनों घटनाओं के घटित होने की संभावना, जिसे गुणा करके निकाला जाता है।
- "या" का अर्थ है किसी एक घटना के घटित होने की संभावना, जिसे जोड़ कर निकाला जाता है।
प्रयोग (Experiment)
- प्रयोग एक ऐसी क्रिया है जिसके परिणाम अनिश्चित होते हैं।
- उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालना एक प्रयोग है।
- किसी प्रयोग के परिणामों को आउटकम कहा जाता है।
घटना (Event)
- किसी प्रयोग के परिणामों का कोई समूह घटना कहलाता है।
- उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने पर सिर आना एक घटना है।
अनुकूल परिणाम (Favorable Outcomes)
- एक घटना के अनुकूल परिणाम वे परिणाम होते हैं जो घटना को संतुष्ट करते हैं।
- उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने पर सिर आना घटना के अनुकूल परिणाम है।
कुल परिणाम (Total Outcomes)
- किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समूह कुल परिणाम है।
- उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने पर कुल परिणाम सिर और पूँछ हैं।
सिक्के उछालने की प्रायिकता
- एक सिक्के को उछालने पर हेड या टेल आने की सम्भावना 1/2 होती है।
- यदि एक सिक्के को n बार उछाला जाता है, तो कुल संभावित परिणाम 2^n होंगे।
- किसी घटना के लिए प्रायिकता की गणना करने के लिए, उस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल संभावित परिणामों की संख्या से विभाजित किया जाता है।
एटलीस्ट (कम से कम) और एट मोस्ट (अधिकतम)
- एटलीस्ट का अर्थ है "कम से कम," और एट मोस्ट का अर्थ है "अधिकतम।"
उदाहरण:
- एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है।
- सभी तीनों उछालों में हेड आने की प्रायिकता 1/8 है।
- कम से कम एक टेल आने की प्रायिकता 7/8 है।
- बिल्कुल दो हेड आने की प्रायिकता 3/8 है।
नाइदर थ्री हेड नॉर थ्री टेल
- यदि तीन सिक्कों को उछाला जाता है, तो ना तीन हेड प्राप्त होंगे और ना ही तीन टेल, इस स्थिति की प्रायिकता 3/4 है।
एटलीस्ट थ्री हेड और टेल
- यदि चार सिक्कों को उछाला जाता है, तो कम से कम तीन सिक्कों पर हेड या टेल आने की प्रायिकता 5/8 है।
एग्जैक्टली टू हेड
- यदि पाँच सिक्कों को उछाला जाता है, तो बिल्कुल दो हेड आने की प्रायिकता 5/16 है।
एग्जैक्टली सिक्स टेल
- यदि आठ सिक्कों को उछाला जाता है, तो बिल्कुल छह टेल आने की प्रायिकता 7/64 है।
एट मोस्ट टू टेल
- यदि नौ सिक्कों को उछाला जाता है, तो अधिकतम दो टेल आने की प्रायिकता 23/256 है।
एटलीस्ट टू टेल
- यदि सात सिक्कों को उछाला जाता है, तो कम से कम दो टेल आने की प्रायिकता 15/16 है।
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Description
यह क्विज संयोजन के सिद्धांतों और सूत्रों का परीक्षण करता है। आप n ऑब्जेक्ट्स में से r ऑब्जेक्ट्स चुनने की विभिन्न विधियों को समझेंगे। इस क्विज में महत्वपूर्ण स्थितियों और ट्रिक्स पर भी ध्यान दिया गया है।
