स्थैतिकी का परिचय

स्थैतिकी का परिचय

• यांत्रिकी (Mechanics) भौतिक वस्तुओं के बलों या विस्थापनों के अधीन होने पर उनके व्यवहार का अध्ययन है।
• इंजीनियरिंग यांत्रिकी (Engineering Mechanics) इंजीनियरिंग संरचनाओं और मशीनों के डिजाइन के लिए यांत्रिकी सिद्धांतों का अनुप्रयोग है।

यांत्रिकी की शाखाएँ

• दृढ़-शरीर यांत्रिकी (Rigid-body mechanics): मानती है कि शरीर पूरी तरह से दृढ़ है और विकृत नहीं होता है।
  • स्थैतिकी (Statics): विरामावस्था में वस्तुओं से संबंधित है।
  • गतिविज्ञान (Dynamics): गतिमान वस्तुओं से संबंधित है।
• विकृत शरीर यांत्रिकी (Deformable-body mechanics): शरीर के विरूपण पर विचार करती है।
• तरल यांत्रिकी (Fluid mechanics): तरल पदार्थों के व्यवहार से संबंधित है।

मौलिक अवधारणाएँ

• स्थान (Space): वस्तुओं द्वारा अधिकृत ज्यामितीय क्षेत्र।
• समय (Time): घटनाओं के अनुक्रम का माप।
• द्रव्यमान (Mass): वेग में परिवर्तन के लिए शरीर के प्रतिरोध का माप।
• बल (Force): एक शरीर का दूसरे शरीर पर क्रिया।

न्यूटन के गति के नियम

• पहला नियम: एक कण विरामावस्था में रहता है या एक स्थिर वेग के साथ गति करना जारी रखता है जब उस पर लगने वाला शुद्ध बल शून्य होता है।
• दूसरा नियम: एक कण का त्वरण उस पर लगने वाले शुद्ध बल के समानुपाती होता है और शुद्ध बल की दिशा में होता है।
  • F = ma, जहाँ F शुद्ध बल है, m द्रव्यमान है, और a त्वरण है।
• तीसरा नियम: प्रत्येक क्रिया के लिए, एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।

इकाइयाँ

• SI इकाइयाँ:
  • लंबाई: मीटर (m)
  • द्रव्यमान: किलोग्राम (kg)
  • समय: सेकंड (s)
  • बल: न्यूटन (N), 1 N = 1 kg⋅m/s²
• U.S. customary units:
  • लंबाई: फुट (ft)
  • द्रव्यमान: स्लग (slug)
  • समय: सेकंड (s)
  • बल: पाउंड (lb), 1 lb = 1 slug⋅ft/s²

यूनिट रूपांतरण

• 1 ft = 0.3048 m
• 1 lb = 4.448 N
• 1 slug = 14.59 kg

अदिश और सदिश

• अदिश (Scalar): एक मात्रा जिसे धनात्मक या ऋणात्मक संख्या से दर्शाया जाता है।
  • उदाहरण: लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन, द्रव्यमान, समय, तापमान, गति, ऊर्जा
• सदिश (Vector): एक मात्रा जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
  • उदाहरण: स्थिति, विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, आघूर्ण

सदिश संचालन

• अदिश गुणन (Scalar Multiplication): B = aA
  • परिमाण: B = |aA| = |a|A
  • यदि a > 0, B की दिशा A के समान होती है।
  • यदि a < 0, B की दिशा A के विपरीत होती है।
• सदिश योग (Vector Addition): R = A + B
  • सदिश योग विधियाँ:
    • त्रिभुज नियम
    • समानांतर चतुर्भुज नियम

सदिश घटक

• कार्तीय इकाई सदिश: i, j, k
• कार्तीय सदिश निरूपण: A = Axi + Ayj + Azk
• परिमाण: A = √(Ax² + Ay² + Az²)
• दिशा कोसाइन:
  • cos α = Ax/A, cos β = Ay/A, cos γ = Az/A
• A की दिशा में इकाई सदिश:
  • uA = A/A = cos α i + cos β j + cos γ k

डॉट उत्पाद

• A ⋅ B = AB cos θ = AxBx + AyBy + AzBz
  • अनुप्रयोग:
    • दो सदिशों के बीच का कोण: cos θ = (A ⋅ B)/(AB)
    • दी गई दिशा में एक सदिश का घटक: Aa = A ⋅ ua

क्रॉस उत्पाद

• C = A × B
• परिमाण: C = AB sin θ
• दिशा: C, A और B वाले तल के लंबवत है, जिसे दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है।
• कार्तीय सदिश निरूपण:
  • A × B = | i j k| | Ax Ay Az| | Bx By Bz| = (AyBz - AzBy)i - (AxBz - AzBx)j + (AxBy - AyBx)k
  • अनुप्रयोग:
    • बल का आघूर्ण

बल का आघूर्ण

• एक बिंदु O के बारे में बल F का आघूर्ण: MO = r × F
  • जहाँ r, O बिंदु से F की क्रिया रेखा पर किसी भी बिंदु का स्थिति सदिश है।
  • परिमाण: MO = rF sin θ = Fd, जहाँ d, बिंदु O से F की क्रिया रेखा की लंबवत दूरी है।
  • दिशा: MO, r और F वाले तल के लंबवत है, जिसे दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है।

स्थैतिकी के सिद्धांत

• बलों के योग के लिए समानांतर चतुर्भुज नियम (Parallelogram Law for Addition of Forces): एक कण पर लगने वाले दो बलों को समानांतर चतुर्भुज नियम द्वारा प्राप्त एक एकल परिणामी बल से बदला जा सकता है।
• ट्रांसमिसिबिलिटी का सिद्धांत (Principle of Transmissibility): एक बल को अपने प्रभाव को बदले बिना अपनी क्रिया रेखा पर किसी भी बिंदु पर लगाया जा सकता है।
• अध्यारोपण (Superposition): किसी वस्तु पर लगने वाले कई बलों का प्रभाव अकेले कार्य करने वाले प्रत्येक बल के प्रभावों का योग होता है।

मुक्त-शरीर आरेख

• एक मुक्त-शरीर आरेख (FBD) एक वस्तु (या वस्तुओं की प्रणाली) का एक स्केच है जो उस पर लगने वाले सभी बलों को दर्शाता है।

संतुलन के समीकरण

• एक वस्तु संतुलन में होती है जब उस पर लगने वाला शुद्ध बल और शुद्ध आघूर्ण शून्य होता है।
• संतुलन में एक कण के लिए: ΣF = 0 या ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0
• संतुलन में एक दृढ़ शरीर के लिए: ΣF = 0, ΣMO = 0 या ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣFz = 0, ΣMOx = 0, ΣMOy = 0, ΣMOz = 0

समर्थन और प्रतिक्रियाओं के प्रकार

समस्या-समाधान रणनीति

1. समस्या को ध्यान से पढ़ें।
2. एक मुक्त-शरीर आरेख बनाएं।
3. संतुलन के समीकरणों को लागू करें।
4. अज्ञातों के लिए हल करें।
5. अपने उत्तर की जाँच करें।

उदाहरण

• समस्या: एक 100-kg का क्रेट एक केबल से लटका हुआ है। केबल में तनाव निर्धारित करें।
• समाधान:
  1. क्रेट का एक मुक्त-शरीर आरेख बनाएं।
  2. क्रेट पर लगने वाले बल उसका वजन (W) और केबल में तनाव (T) हैं।
  3. संतुलन के समीकरणों को लागू करें: ΣFy = 0 ⇒ T - W = 0
  4. तनाव के लिए हल करें: T = W = mg = (100 kg)(9.81 m/s²) = 981 N

मुख्य अवधारणाएँ

• स्थैतिकी विरामावस्था में वस्तुओं का अध्ययन है।
• न्यूटन के गति के नियम स्थैतिकी के लिए मौलिक हैं।
• बलों और आघूर्णों का प्रतिनिधित्व करने के लिए सदिशों का उपयोग किया जाता है।
• स्थैतिकी समस्याओं को हल करने के लिए एक मुक्त-शरीर आरेख आवश्यक है।
• अज्ञात बलों और आघूर्णों को निर्धारित करने के लिए संतुलन के समीकरणों का उपयोग किया जाता है।