समय और कार्य गणित अवधारणाएँ

निम्नलिखित अध्ययन नोट्स समय और कार्य से संबंधित गणितीय अवधारणाओं को समझने में आपकी मदद करेंगे।

• समय और कार्य से संबंधित समस्याएं गणितीय अवधारणाओं का एक सामान्य अनुप्रयोग हैं।
• इनमें अक्सर यह निर्धारित करना शामिल होता है कि व्यक्तियों या समूहों को एक साथ या अलग-अलग दरों पर काम करते हुए कार्यों को पूरा करने में कितना समय लगता है।

बुनियादी अवधारणाएँ

• कार्य को अक्सर एक संपूर्ण इकाई माना जाता है (उदाहरण के लिए, 1 नौकरी)।
• कार्य की दर प्रति इकाई समय में किए गए कार्य की मात्रा है।
• समय कार्य को पूरा करने में लगने वाली अवधि है।
• कार्य = दर × समय

व्यक्तिगत कार्य

• यदि कोई व्यक्ति किसी कार्य को 'n' दिनों में कर सकता है, तो उसकी कार्य दर प्रति दिन 1/n होती है।
• यदि किसी व्यक्ति की कार्य दर प्रति दिन 1/n है, तो वह कार्य को 'n' दिनों में पूरा कर सकता है।

एक साथ काम करना

• यदि दो व्यक्ति किसी कार्य को क्रमशः 'a' और 'b' दिनों में कर सकते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्य दर प्रति दिन 1/a + 1/b होती है।
• उन्हें एक साथ कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय उनकी संयुक्त दर का व्युत्क्रम होता है, यानी, 1 / (1/a + 1/b) = ab / (a + b) दिन।
• यह अवधारणा कई लोगों तक फैली हुई है; संयुक्त दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है।

आनुपातिकता

• यदि कार्य की मात्रा स्थिर है, तो लगने वाला समय और कार्य की दर व्युत्क्रमानुपाती होती है।
• यदि समय स्थिर है, तो किया गया कार्य कार्य की दर के समानुपाती होता है।
• यदि कार्य की दर स्थिर है, तो किया गया कार्य समय के समानुपाती होता है।

दक्षता

• दक्षता दो व्यक्तियों की कार्य दर का अनुपात है।
• यदि A, B से दोगुना कुशल है, तो A की कार्य दर B की कार्य दर से दोगुनी है।
• यदि A और B की दक्षता का अनुपात m:n है, तो उनके द्वारा समान कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का अनुपात n:m है।

मजदूरी

• मजदूरी आमतौर पर किए गए कार्य की मात्रा के आनुपातिक होती है।
• यदि A और B एक साथ काम करते हैं, तो उनकी व्यक्तिगत मजदूरी उनकी कार्य दरों के अनुपात में होती है।

पाइप और कुण्ड

• टैंक भरने या खाली करने वाले पाइपों के बारे में समस्याएँ समय और कार्य समस्याओं के समान हैं।
• टैंक भरने वाला पाइप काम करने जैसा है, और टैंक खाली करने वाला पाइप काम को पूर्ववत करने जैसा है।

मुख्य सूत्र

• कार्य = दर × समय
• दर = कार्य / समय
• समय = कार्य / दर
• यदि A किसी कार्य को 'a' दिनों में कर सकता है और B उसी कार्य को 'b' दिनों में कर सकता है, तो एक साथ काम करते हुए, वे उसी कार्य को ab/(a+b) दिनों में कर सकते हैं।
• यदि A, B और C किसी कार्य को क्रमशः a, b और c दिनों में कर सकते हैं, तो एक साथ काम करते हुए, वे उसी कार्य को 1/(1/a + 1/b + 1/c) दिनों में कर सकते हैं।

समस्या-समाधान युक्तियाँ

• किए जा रहे कार्य और समय की इकाइयों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
• कार्य की सभी दरों को एक सामान्य इकाई में व्यक्त करें (उदाहरण के लिए, प्रति दिन, प्रति घंटा)।
• जब लोग एक साथ काम करते हैं, तो उनकी कार्य दरों को जोड़ें।
• समीकरण स्थापित करने के लिए मूल सूत्र कार्य = दर × समय का उपयोग करें।
• गणना करते समय इकाइयों के साथ सावधान रहें।
• यदि कार्य का एक भाग किया जाता है, तो किए जाने वाले शेष कार्य पर विचार करें।
• आसान गणना के लिए मिश्रित भिन्नों और दशमलव को उचित भिन्नों में बदलें।
• दक्षता से निपटने के दौरान, कार्य की दरों को एक सामान्य चर के संदर्भ में व्यक्त करें।

उदाहरण समस्या

• A किसी कार्य को 10 दिनों में कर सकता है, और B उसी कार्य को 15 दिनों में कर सकता है।
• उन्हें एक साथ इसे पूरा करने में कितना समय लगेगा?
• A की कार्य दर = 1/10 प्रति दिन
• B की कार्य दर = 1/15 प्रति दिन
• संयुक्त कार्य दर = 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 प्रति दिन
• एक साथ कार्य को पूरा करने का समय = 1 / (1/6) = 6 दिन

उन्नत समस्याएँ

• कुछ समस्याओं में कार्य की चर दरें या कार्य के दौरान लोगों का शामिल होना/छोड़ना शामिल हो सकता है।
• इन समस्याओं के लिए समीकरणों की सावधानीपूर्वक स्थापना और समय के साथ किए गए कार्य की मात्रा को ट्रैक करने की आवश्यकता होती है।
• यदि A कुछ दिनों के लिए काम करता है और छोड़ देता है, तो A द्वारा किए गए कार्य की गणना करें और शेष कार्य दूसरों द्वारा किया जाता है।
• यदि A और B बारी-बारी से काम करते हैं, तो प्रत्येक अवधि में किए गए कार्य की अलग-अलग गणना करें।

वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग

• परियोजना प्रबंधन, टीम के सदस्य की उत्पादकता के आधार पर परियोजना पूर्ण होने के समय का अनुमान लगाना।
• विनिर्माण, मशीन और कार्यकर्ता दक्षता के आधार पर उत्पादन कार्यक्रम का अनुकूलन करना।
• निर्माण, समय-सीमा और संसाधन आवंटन की योजना बनाना।
• रसद, वितरण कार्यक्रम और संसाधन उपयोग का अनुकूलन करना।

अभ्यास प्रश्न

• A किसी कार्य को 20 दिनों में कर सकता है और B उसे 30 दिनों में कर सकता है। यदि वे एक साथ काम करते हैं, तो कार्य को पूरा करने में कितना समय लगेगा?
• एक पाइप एक टैंक को 5 घंटे में भर सकता है और दूसरा पाइप उसे 8 घंटे में खाली कर सकता है। यदि दोनों पाइप खोले जाते हैं, तो टैंक को भरने में कितना समय लगेगा?
• यदि A, B से दोगुना अच्छा काम करने वाला है, और वे मिलकर एक कार्य को 14 दिनों में पूरा करते हैं, तो A अकेले उस कार्य को कितने दिनों में पूरा करेगा?

समय प्रबंधन के लिए युक्तियाँ

• प्रत्येक समस्या के लिए पर्याप्त समय आवंटित करें।
• गति और सटीकता में सुधार के लिए नियमित रूप से अभ्यास करें।
• उत्तरों की तर्कसंगतता की जाँच के लिए अनुमान का उपयोग करें।
• सामान्य समस्या प्रकारों को पहचानना और उपयुक्त सूत्रों को जल्दी से लागू करना सीखें।

आम गलतियाँ जिनसे बचना चाहिए

• कार्य की दरों को समान इकाइयों में व्यक्त करना भूल जाना।
• कार्य की दरों को गलत तरीके से जोड़ना या घटाना।
• संयुक्त समय की गणना करते समय व्युत्क्रमों से भ्रमित होना।
• लोगों के शामिल होने या छोड़ने पर शेष कार्य पर विचार न करना।
• अंकगणितीय त्रुटियाँ करना, विशेष रूप से भिन्नों के साथ।

दक्षता में उन्नत अवधारणाएँ

• विभिन्न श्रमिकों में दक्षता की तुलना करते समय, उच्च दक्षता और कम कार्य पूरा होने के समय के बीच सीधा संबंध समझें।
• उदाहरण के लिए, यदि कोई श्रमिक A, श्रमिक B से 50% अधिक कुशल है, तो A उसी कार्य को B की तुलना में कम समय में पूरा करेगा, विशेष रूप से B द्वारा लिए गए समय के 2/3 में।

कार्य वितरण और कार्य प्रत्यायोजन

• कार्य को बेहतर ढंग से वितरित करने में व्यक्तियों को उनकी दक्षता और कौशल के आधार पर कार्य सौंपना शामिल है।
• यह सुनिश्चित करता है कि किसी परियोजना को पूरा करने में लगने वाला समग्र समय कम हो और प्रत्येक कार्यकर्ता का अधिकतम क्षमता से उपयोग किया जाए।

अतिव्यापी कार्य

• उन स्थितियों में जहाँ श्रमिक समवर्ती रूप से कार्य करते हैं, पूरा किया गया कुल कार्य अतिव्यापी समय के दौरान सभी व्यक्तिगत योगदानों का योग होता है।
• इन समस्याओं को हल करने के दृष्टिकोण में प्रत्येक कार्यकर्ता की दरों की गणना करना और संयुक्त कार्य दर ज्ञात करने के लिए उन दरों को जोड़ना शामिल है।

चर कार्य दरें

• उन परिदृश्यों का विश्लेषण करना जहाँ श्रमिक थकान या बढ़ी हुई दक्षता के कारण किसी कार्य के दौरान अपनी कार्य दर बदल सकते हैं।
• समय के प्रत्येक खंड के दौरान, जिसके दौरान दर स्थिर होती है, उसे अलग-अलग गणना करने और उनके योगदान को जोड़ने की आवश्यकता होती है।

टीम गतिशीलता

• परियोजना को पूरा करने के समय पर टीम के सदस्यों को जोड़ने या हटाने के प्रभावों की खोज करना।
• नए सदस्य अतिरिक्त क्षमता लाते हैं, लेकिन स्थापित कार्यप्रवाह पर भी प्रभाव डालते हैं, जिसके लिए कार्य वितरण में समायोजन की आवश्यकता होती है।

संसाधन आवंटन

• दक्षता को अधिकतम करने के लिए उपकरणों या मशीनरी जैसे संसाधनों को सर्वोत्तम तरीके से आवंटित करने का निर्धारण एक क्लासिक अनुकूलन समस्या है।
• उपलब्ध संसाधनों की ताकत का लाभ उठाकर कुशल आवंटन कार्यों को पूरा करने के लिए आवश्यक समय को काफी कम कर सकता है।

लगातार सुधार

• कार्य प्रक्रियाओं में निरंतर सुधार को प्रोत्साहित करना, जिसमें श्रमिकों के कौशल को बढ़ाने के लिए प्रशिक्षण या नए उपकरणों को अपनाना शामिल हो सकता है।
• समय के साथ औसत कार्य दर में सुधार करने वाले परिवर्तनों को लागू करना, जिससे दीर्घकालिक लाभ होता है।

समय की बाध्यताएँ

• सख्त समय-सीमाओं के निहितार्थ को समझना, जिसके लिए यह सुनिश्चित करने के लिए अतिरिक्त संसाधनों या ओवरटाइम की आवश्यकता हो सकती है कि कार्य समय पर पूरे हों।
• परियोजना में और देरी कर सकने वाली त्रुटियों या पुन: कार्य से बचने के लिए गति को गुणवत्ता के साथ संतुलित करने की आवश्यकता है।

परियोजना मील के पत्थर

• प्रगति की निगरानी के लिए परियोजना मील के पत्थर को एकीकृत करना, और परियोजना को ट्रैक पर रखने के लिए आवश्यकतानुसार कार्य आवंटन को समायोजित करना।
• टीम की दक्षता पर प्रतिक्रिया प्रदान करने और सुधार के क्षेत्रों की पहचान करने के लिए मील के पत्थर के खिलाफ नियमित मूल्यांकन।

सीखने की अवस्थाएँ

• सीखने की अवस्था के प्रभाव पर विचार करें, जहाँ श्रमिक कार्य के साथ अनुभव प्राप्त करते हुए अधिक कुशल हो जाते हैं।
• प्रारंभिक अक्षमता और कार्य बढ़ने के साथ बेहतर होती दर के प्रभावों को स्वीकार करें, जिसे धीरे-धीरे बढ़ती कार्य दर के रूप में मॉडल किया जा सकता है।