संख्यात्मक सिद्धांत के अध्ययन नोट्स

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Questions and Answers

प्राइम संख्या की परिभाषा क्या है और इसका एक उदाहरण दें?

प्राइम संख्या वह संख्या होती है जो 1 और स्वयं के अलावा किसी भी सकारात्मक विभाज्य नहीं होती। उदाहरण: 5 एक प्राइम संख्या है।

कोई भी पूर्णांक को प्राइम संख्याओं में कैसे विभाजित किया जा सकता है?

हर पूर्णांक जो 1 से बड़ा है, उसे अद्वितीय रूप से प्राइम संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।

संपूर्ण संख्याओं में divisibility की परिभाषा क्या है?

एक पूर्णांक $a$ को दूसरे पूर्णांक $b$ द्वारा विभाजित कहा जाता है, यदि ऐसा कोई पूर्णांक $k$ हो कि $a = bk$।

Euler का थिओरम किसे संदर्भित करता है और इसका क्या महत्व है?

Euler का थिओरम बताता है कि यदि $a$ और $n$ सहाभाज्य हैं, तो $a^{ heta(n)} ext{ mod } n ightarrow 1$। Signup and view all the answers

Fermat का लिटिल थिओरम क्या कहता है?

यदि $p$ एक प्राइम संख्या है और $a$ एक पूर्णांक है जो $p$ द्वारा विभाजित नहीं होता, तो $a^{(p-1)} ext{ mod } p ightarrow 1$। Signup and view all the answers

दीओफैंटाइन समीकरणों का क्या अर्थ है?

दीओफैंटाइन समीकरण ऐसे बहुपद समीकरण होते हैं जिनके लिए पूर्णांक समाधान उपलब्ध होते हैं। Signup and view all the answers

संधि में समसामयिक संगणक समीकरणों को हल करने में चीनी शेषांक थिओरम का क्या योगदान है?

चीनी शेषांक थिओरम एक प्रणाली में समसामयिक संगणक समीकरणों को हल करने का तरीका प्रदान करता है। Signup and view all the answers

Wilson का थिओरम क्या कहता है और इसके मुख्य बिंदु क्या हैं?

Wilson का थिओरम बताता है कि एक प्राइम संख्या $p$ के लिए $(p-1)! ext{ mod } p ightarrow -1$। Signup and view all the answers

सस्टेनेबिलिटी का क्या अर्थ है?

भविष्य के लिए संसाधनों को बनाए रखना (C) Signup and view all the answers

जलीय पारिस्थितिकी तंत्र की मुख्य विशेषता क्या है?

यह जीवों और उनके वातावरण के बीच संबंधों का अध्ययन है (A) Signup and view all the answers

क्लाइमेट परिवर्तन का क्या प्रभाव होता है?

तापमान और मौसम की लंबी अवधि के बदलाव (B) Signup and view all the answers

नवीकरणीय संसाधनों का क्या उदाहरण है?

सौर ऊर्जा (A) Signup and view all the answers

संरक्षण रणनीतियों में से एक क्या है?

संरक्षित क्षेत्र बनाना (A) Signup and view all the answers

बायोरेमेडिएशन का उपयोग किस लिए किया जाता है?

प्रदूषित वातावरण की सफाई के लिए (C) Signup and view all the answers

पर्यावरणीय प्रदूषण को कैसे परिभाषित किया जा सकता है?

हवा, जल, और भूमि का दूषित होना (C) Signup and view all the answers

उठते हुए तकनीक में कौन सा विकल्प नहीं है?

निर्माण उद्योग का विकास (C) Signup and view all the answers

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Study Notes

### प्राइम संख्याएँ

एक प्राइम संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।
उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11
किसी भी पूर्णांक को प्राइम संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है, जो कि प्राइम फैक्टराइजेशन कहलाता है।

विभाज्यता

एक पूर्ण संख्या (संपूर्ण संख्या) दूसरे पूर्ण संख्या से विभाज्य होती है, यदि उसे विभाजित करने पर कोई शेष नहीं बचता है।

### यूलर का थिओरम

यूलर का थिओरम बताता है कि अगर a और n सह-अभाज्य हैं, तो a के Φ(n) घात को n से विभाजित करने पर शेषफल हमेशा 1 होगा।
Φ(n) n से कम सभी धनात्मक पूर्णांकों की संख्या है जो n के साथ सह-अभाज्य हैं।
यूलर का थिओरम Cryptography में महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से public-key cryptography में।

### फर्मेट का लिटिल थिओरम

फर्मेट का लिटिल थिओरम यूलर के थिओरम का एक विशेष मामला है।
यह बताता है कि अगर p एक प्राइम संख्या है और a एक ऐसी पूर्ण संख्या है जो p से विभाज्य नहीं है, तो a की (p-1) घात को p से विभाजित करने पर शेषफल 1 होगा।

### डायोफैंटाइन समीकरण

डायोफैंटाइन समीकरण उन समीकरणों को कहते हैं जिनमें कुल मिलाकर सभी चरों को पूर्णांक मानों में हल करने की आवश्यकता होती है।

### चीनी शेषांक थिओरम

चीनी शेषांक थिओरम बताता है कि अगर n संख्याओं का सबसे बड़ा सार्वभौमिक भाजक 1 है, तो उन संख्याओं के n अलग-अलग शेषफलों की जानकारी से एक अनोखा हल प्राप्त किया जा सकता है।
यह संधि में समसामयिक संगणक समीकरणों को हल करने में उपयोगी है।

### व्हीलसन का थिओरम

व्हीलसन का थिओरम बताता है कि अगर p एक प्राइम संख्या है, तो (p-1)! + 1 को p से विभाजित करने पर शेषफल 0 होगा।
व्हीलसन का थिओरम प्राइम संख्याओं के गुणधर्मों को समझने में मदद करता है।

### सस्टेनेबिलिटी

सस्टेनेबिलिटी का मतलब है कि आने वाली पीढ़ियों की जरूरतों को पूरा करते हुए वर्तमान पीढ़ियों की जरूरतों को भी ध्यान में रखा जाए।
यह एक ऐसे प्रणाली को बनाए रखने के बारे में है जो समय के साथ टिके रह सके।

### जलीय पारिस्थितिकी तंत्र

जलीय पारिस्थितिकी तंत्र ऐसे पारिस्थितिकी तंत्र हैं जो पानी में रहते हैं।
इनमें तालाबों, नदियों, समुद्रों और महासागरों जैसे जलस्रोत शामिल हैं।

### जलवायु परिवर्तन

जलवायु परिवर्तन में पृथ्वी के जलवायु प्रणाली में दीर्घ-कालिक परिवर्तन शामिल हैं।
मानव गतिविधियों के कारण ग्रीनहाउस गैसों के उत्सर्जन में वृद्धि, जलवायु परिवर्तन का मुख्य कारक है।

### नवीकरणीय संसाधन

नवीकरणीय संसाधन प्राकृतिक संसाधन होते हैं जो अपेक्षाकृत जल्दी से पुनर्निर्माण कर सकते हैं।
सौर ऊर्जा, पवन ऊर्जा और जलविद्युत कुछ उदाहरण हैं।

### संरक्षण रणनीतियाँ

संरक्षण रणनीतियाँ उन तकनीकों और प्रथाओं को संदर्भित करती हैं जो प्राकृतिक संसाधनों की सुरक्षा और स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए डिज़ाइन की गई हैं।
उदाहरण: वन संरक्षण, जैव विविधता संरक्षण, और जल संरक्षण।

### बायोरेमेडिएशन

बायोरेमेडिएशन एक ऐसी तकनीक है जो प्राकृतिक प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्रदूषित मिट्टी या जल को साफ करने के लिए करती है।
इसमें सूक्ष्मजीवों, पौधों या कवक का उपयोग करके प्रदूषकों का अपघटन करना शामिल है।

### पर्यावरण प्रदूषण

पर्यावरण प्रदूषण मनुष्य या प्राकृतिक कारणों से पर्यावरण में हानिकारक पदार्थों का जमाव होना है।
वायु, जल और मिट्टी प्रदूषण के प्रमुख प्रकार हैं।

### उभरती हुई तकनीक

उभरती हुई तकनीक नई तकनीकों का संदर्भ है जो अभी भी विकास के चरण में हैं, लेकिन बड़े पैमाने पर प्रभाव डालने की क्षमता रखती हैं।
उभरती हुई तकनीकों में क्वांटम कंप्यूटिंग, कृत्रिम बुद्धिमत्ता, और नैनो टेक्नोलॉजी शामिल हैं।