सांख्यिकी और संभावना सिद्धांत

Descriptive Statistics

Definition: Summarizes and describes the features of a dataset.
Measures of Central Tendency:
- Mean: Average value.
- Median: Middle value when data is ordered.
- Mode: Most frequently occurring value.
Measures of Dispersion:
- Range: Difference between the highest and lowest values.
- Variance: Measure of data spread around the mean.
- Standard Deviation: Square root of variance, indicates how much values deviate from the mean.
Visual Representation:
- Histograms: Show frequency distribution.
- Box Plots: Display median, quartiles, and outliers.

Probability Theory

Definition: Study of uncertainty and random events.
Basic Concepts:
- Experiment: A procedure that produces outcomes.
- Sample Space: Set of all possible outcomes.
- Event: A subset of the sample space.
Probability Calculation:
- P(A): Probability of event A occurring.
- Addition Rule: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B).
- Multiplication Rule: P(A and B) = P(A) * P(B | A) for dependent events.
Types of Probability:
- Theoretical: Based on reasoning and mathematical models.
- Experimental: Based on observed data.

Statistical Significance

Definition: Indicates whether results are likely due to chance.
P-Value:
- Probability of obtaining results as extreme as the observed results, assuming the null hypothesis is true.
- Common thresholds: 0.05 (5%) or 0.01 (1%).
Null Hypothesis (H0): Assumes no effect or no difference; what is tested.
Alternative Hypothesis (H1): Indicates the presence of an effect or difference.
Confidence Intervals: Range of values around a sample statistic that is likely to contain the population parameter.

Regression Analysis

Definition: Statistical method for modeling relationships between variables.
Types:
- Simple Linear Regression: Examines the relationship between two variables (one independent, one dependent).
- Multiple Regression: Involves multiple independent variables to predict a dependent variable.
Equation: Y = a + bX + e
- Y: dependent variable
- a: y-intercept
- b: slope of the regression line
- X: independent variable
- e: error term
Assumptions:
- Linearity, independence, homoscedasticity, and normality of residuals.

Inferential Statistics

Definition: Techniques that allow conclusions to extend beyond the immediate data.
Purpose: Make inferences about a population based on a sample.
Key Concepts:
- Sampling: The process of selecting a subset of a population.
- Hypothesis Testing: Procedure to test assumptions regarding population parameters.
- Confidence Intervals: Estimates of a population parameter, with a specified level of confidence.
Common Methods:
- t-tests: Compare means between two groups.
- ANOVA: Compare means across three or more groups.
- Chi-square tests: Assess relationships between categorical variables.

वर्णात्मक सांख्यिकी

परिभाषा: एक डेटा सेट की विशेषताओं का संक्षेप और वर्णन।
केंद्र प्रवृत्ति के माप:
- माध्य: औसत मान।
- माध्यिका: क्रमबद्ध डेटा में मध्य मान।
- मोड: सबसे अधिक बार प्रकट होने वाला मान।
प्रसार के माप:
- रेंज: सबसे उच्च और सबसे नीचले मान के बीच का अंतर।
- विविधता: माध्य के चारों ओर डेटा के फैलाव का माप।
- मानक विचलन: विविधता का वर्गमूल, यह बताता है कि मान कितने दूर हैं माध्य से।
चित्रण:
- हिस्टोग्राम: आवृत्ति वितरण को दर्शाता है।
- बॉक्स प्लॉट्स: माध्यिका, क्वारटाइल और आउटलेयर को प्रदर्शित करता है।

संभावना सिद्धांत

परिभाषा: अनिश्चिता और यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन।
बुनियादी अवधारणाएँ:
- प्रयोग: एक प्रक्रिया जो परिणाम उत्पन्न करती है।
- नमूना स्थान: सभी संभावित परिणामों का सेट।
- घटना: नमूना स्थान का एक उपसमुच्चय।
संभावना गणना:
- P(A): घटना A के होने की संभावना।
- जोड़ नियम: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)।
- गुणन नियम: P(A and B) = P(A) * P(B | A) निर्भर घटनाओं के लिए।
संभावना के प्रकार:
- सैद्धांतिक: तर्क और गणितीय मॉडलों पर आधारित।
- प्रायोगिक: अवलोकित डेटा पर आधारित।

सांख्यिकीय महत्व

परिभाषा: यह इंगित करता है कि परिणाम संभावना से हैं या नहीं।
P-मूल्य:
- अवलोकित परिणामों के समान चरम परिणाम प्राप्त करने की संभावना, यदि शून्य परिकल्पना सत्य है।
- सामान्य थ्रेशोल्ड: 0.05 (5%) या 0.01 (1%)।
शून्य परिकल्पना (H0): कोई प्रभाव या अंतर नहीं है; यह परीक्षण किया जाता है।
वैकल्पिक परिकल्पना (H1): प्रभाव या अंतर की उपस्थिति का संकेत करती है।
विश्वास अंतराल: एक नमूना सांख्यिकी के चारों ओर मानों की सीमा, जो आबादी के पैरामीटर को समाहित करने की संभावना रखते हैं।

रिग्रेशन विश्लेषण

परिभाषा: चर के बीच संबंध моделिंग के लिए सांख्यिकीय विधि।
प्रकार:
- सरल रैखिक रिग्रेशन: दो चर (एक स्वतंत्र, एक आश्रित) के बीच संबंध की जांच करता है।
- गुणात्मक रिग्रेशन: एक संपूर्ण चर के लिए कई स्वतंत्र चर शामिल करता है।
समीकरण: Y = a + bX + e
- Y: आश्रित चर
- a: y-इंटरसेप्ट
- b: रिग्रेशन रेखा का ढलान
- X: स्वतंत्र चर
- e: त्रुटि पद
मान्यताएँ: रेखीयता, स्वतंत्रता, होमोजेडेस्टीसिटी और अवशेषों का सामान्यता।

व्युत्क्षिप्त सांख्यिकी

परिभाषा: तकनीकें जो निष्कर्षों को तात्कालिक डेटा से आगे बढ़ाने की अनुमति देती हैं।
उद्देश्य: नमूने के आधार पर आबादी के बारे में निष्कर्ष निकालना।
मुख्य अवधारणाएँ:
- नमूनाकरण: आबादी के एक उपसमुच्चय का चयन करने की प्रक्रिया।
- परिकल्पना परीक्षण: आबादी के पैरामीटर के बारे में धारणाओं का परीक्षण करने की प्रक्रिया।
- विश्वास अंतराल: आबादी के पैरामीटर का अनुमान, निश्चित विश्वास स्तर के साथ।
साधारण विधियाँ:
- t-परीक्षण: दो समूहों के बीच औसत की तुलना करता है।
- ANOVA: तीन या अधिक समूहों के बीच औसत की तुलना करता है।
- ची-स्क्वायर परीक्षण: श्रेणीबद्ध चर के बीच संबंधों का आकलन करता है।