संभावना और संयोजन

यदि A और B दो घटनाएँ हैं तो P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). हम जानते हैं कि P(AUB) = P(Ā∪B) = 1, जिसका अर्थ है कि A और B के परिणाम संपूर्ण नमूना स्थान को कवर करते हैं। इसलिए, P(A∩B) = 0. इसलिए, P(B) = P(AUB) - P(A) = 1 - 27/38 = 11/38. इस प्रकार, घटना B के विरुद्ध बाधाएँ 11:27 हैं।

पहले मिश्रण में 80 लीटर स्पिरिट और पानी का अनुपात 7:9 है। अर्थात स्पिरिट की मात्रा = 80 * (7/16) = 35 लीटर और पानी की मात्रा = 80 * (9/16) = 45 लीटर। 20 लीटर मिश्रण को हटाने के बाद, बर्तन A में 60 लीटर मिश्रण बचा है, जिसमें 21 लीटर स्पिरिट और 39 लीटर पानी होता है। फिर 20 लीटर पानी डालने से बर्तन A में 21 लीटर स्पिरिट और 59 लीटर पानी हो जाता है। 32 लीटर मिश्रण को बर्तन B में स्थानांतरित करने का अर्थ है कि बर्तन B में 32 * (21/80) = 8.4 लीटर स्पिरिट और 32 * (59/80) = 23.6 लीटर पानी होता है। इसलिए, पानी और स्पिरिट का अनुपात 23.6:8.4 है, यानी 59:21।

मान लीजिए कि A एक दिन में 1/a काम करता है, B एक दिन में 1/b काम करता है, C एक दिन में 1/c काम करता है और D एक दिन में 1/d काम करता है। दिया गया है: A और B एक साथ 12.5 दिनों में काम पूरा करते हैं, इसलिए 1/a + 1/b = 1/12.5। B और C एक साथ 18.75 दिनों में काम पूरा करते हैं, इसलिए 1/b + 1/c = 1/18.75। C और A एक साथ 15 दिनों में काम पूरा करते हैं, इसलिए 1/c + 1/a = 1/15। इन तीन समीकरणों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं: 2(1/a + 1/b + 1/c) = 1/12.5 + 1/18.75 + 1/15 = 1/5. इसलिए, 1/a + 1/b + 1/c = 1/10। D की दक्षता C की 40% है, इसलिए 1/d = 0.4 * (1/c) = 2/5c। A, B, C और D एक साथ एक दिन में 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1/10 + 2/5c काम करते हैं। 1/c = (1/15 - 1/a) = (1/15 - 1/12.5) = 1/150. इसलिए, A, B, C और D एक साथ एक दिन में 1/10 + 2/5 * (1/150) = 1/8 काम करते हैं। इस प्रकार, A, B, C और D एक साथ 8 दिनों में काम पूरा करेंगे।

प्रत्येक ड्रॉ के लिए परिणाम स्वतंत्र हैं क्योंकि कार्ड को प्रतिस्थापित किया जाता है। एक जैक प्राप्त करने की प्रायिकता 4/52 = 1/13 है। एक काला कार्ड प्राप्त करने की प्रायिकता 26/52 = 1/2 है। एक सम-संख्या वाला कार्ड प्राप्त करने की प्रायिकता 20/52 = 5/13 है। इसलिए, तीन कार्डों के क्रम में वांछित परिणाम प्राप्त करने की प्रायिकता (1/13) * (1/2) * (5/13) = 5/338 है।

प्रत्येक शॉट स्वतंत्र होता है। लक्ष्य पर हिट करने की प्रायिकता 5/8 है और लक्ष्य पर हिट न करने की प्रायिकता 3/8 है। लक्ष्य पर ठीक दो बार हिट करने की प्रायिकता को बायनोमियल प्रायिकता सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। प्रायिकता = (10C2) * (5/8)^2 * (3/8)^8 जहाँ (10C2) 10 शॉट में से 2 शॉट चुनने के तरीकों की संख्या है। इसे गणना करके, हमें प्रायिकता लगभग 0.1758 प्राप्त होती है।

n भुजाओं वाले नियमित बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का मान (n-2) * 180 /n होता है। दिया गया है कि नियमित बहुभुज का आंतरिक कोण नियमित दशभुज के एक आंतरिक कोण का 1/5 है। इसलिए: (n-2) * 180 /n = (1/5) * (10-2) * 180 /10. इससे हमें n = 6 प्राप्त होता है। 6 भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या n(n-3)/2 = 6 (6-3)/2 = 9 होती है।

दिया गया है: a cot θ + b cosec θ = p और b cot θ + a cosec θ = q. इन समीकरणों का वर्ग करके घटाने पर, हमें प्राप्त होता है: (a cot θ + b cosec θ)² - (b cot θ + a cosec θ)² = p² - q². यह सुव्यवस्थित होकर हमें (a² - b²) cot² θ + 2(ab - ab) cot θ cosec θ + (b² - a²) cosec² θ = p² - q² देता है, जो p² - q² = (a² - b²) (cot² θ - cosec² θ) के रूप में सरलीकृत हो जाता है। हम जानते हैं कि cot² θ - cosec² θ = -1. इसलिए, p² - q² = -(a² - b²) = b² - a²।

पिरामिड का आधार 8 सेमी भुजा वाला समबाहु त्रिभुज है। इसकी तिरछी धार 24 सेमी है। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) * (भुजा)² = (√3/4) * 8² = 16√3 वर्ग सेमी। तीनों त्रिकोणों का कुल क्षेत्रफल = 3 * (1/2) * (आधार) * (ऊँचाई) = 3 * (1/2) * 8 * √(24² - 4²) = 96√5 वर्ग सेमी। इसलिए, पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल + तीनों त्रिकोणों का क्षेत्रफल = 16√3 + 96√5 = 16(√3 + 6√5) वर्ग सेमी।

x और y का महत्तम समापवर्तक (HCF) 15 है। इसका अर्थ है कि x और y दोनों 15 के गुणज हैं। इसलिए, 36x² - 81y² और 81x² - 9y² दोनों ही 15² = 225 से विभाज्य हैं। अंत में, 225 का केवल एकमात्र गुणज जो 36x² - 81y² और 81x² - 9y² दोनों को विभाजित कर सकता है वह है 225. इसलिए, 36x² - 81y² और 81x² - 9y² 225 से विभाज्य हैं।

n भुजाओं वाले नियमित बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग (n-2) * 180 होता है। दिया गया है कि बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 2700 है। इसलिए, (n-2) * 180 = 2700. इससे हमें n = 17 प्राप्त होता है। 17 भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या n*(n-3)/2 = 17*(17-3)/2 = 119 है।

दो संख्याओं का गुणनफल 1500 है और उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 10 है। इसका अर्थ है कि संख्याएँ दोनों 10 के गुणज हैं। संख्याओं के गुणनफल को उनके HCF और LCM से गुणा किया जा सकता है। इसलिए, संख्याओं का LCM = 1500 / 10 = 150 है। इसलिए, संख्याओं का जोड़ा (10, 150) के गुणज होंगे। संभावित जोड़े (10, 150), (20, 75), (30, 50) हैं। इस प्रकार, 3 संभावित युग्म हैं।

पहले 4 लीटर दूध निकालने पर बर्तन में 36 लीटर दूध बचा है। 4 लीटर पानी डालने से बर्तन में 36 लीटर मिश्रण हो जाता है जिसमें 36 लीटर दूध होता है। दूसरी बार 4 लीटर मिश्रण निकालने का अर्थ है कि 4 लीटर दूध और पानी के मिश्रण का 36/40 = 9/10 भाग निकाला जाता है। इसलिए 4 लीटर मिश्रण में 3.6 लीटर दूध होता है। इसलिए, बर्तन में 36- 3.6 = 32.4 लीटर दूध बचा है। तीसरी बार 4 लीटर मिश्रण निकालने का अर्थ है कि 4 लीटर दूध और पानी के मिश्रण का 32.4/40 = 81/100 भाग निकाला जाता है। इसलिए, 4 लीटर मिश्रण में 3.24 लीटर दूध होता है। इसलिए, बर्तन में 32.4 - 3.24 = 29.16 लीटर दूध बचा है।

शब्द ‘ARTICLE’ में 7 अक्षर हैं। इनमें से 3 स्वर (A, I, E) और 4 व्यंजन हैं। 4 सम स्थानों के क्रमों में 3 स्वरों को क्रमबद्ध करने के 4C3 = 4 तरीके हैं। शेष 4 स्थानों पर क्रमबद्ध किए जा सकते हैं, 4! = 24 तरीकों से। इसलिए, सभी अक्षरों को क्रमबद्ध करने के 4 * 24 = 96 तरीके हैं। सभी अक्षरों को क्रमबद्ध करने के 7! = 5040 तरीके हैं। स्वरों के सम स्थानों पर होने की प्रायिकता = (अनुमेय क्रमपरिवर्तन) / (कुल क्रमपरिवर्तन) = 96 / 5040 = 1/52.5 है।

दिए गए व्यंजक को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है: 1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 +...... + 1/99 - 1/101. यह एक दूरस्थ व्यंजक है जहाँ अधिकांश पद रद्द हो जाते हैं। बस पहला और अंतिम पद बचा है: 1/1 - 1/101 = 100/101. इसलिए, दिए गए व्यंजक का मान 100/101 है।

क्रॉकरी का अंकित मूल्य 15400 रुपए है। 12% की छूट देने पर, इसका मूल्य = (15400 - (15400 * 12 / 100)) = 13520 रुपए होता है। हर्ष ने 10164 रुपए में क्रॉकरी खरीदी। इसलिए दुकानदार द्वारा दी गई अतिरिक्त छूट = (13520 - 10164) = 3356 रुपए। अतिरिक्त छूट % = (3356 / 13520) * 100 = 24.81% (लगभग) है।

चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, ∠DCB = 60°, भुजा BC = 10 सेमी, CD = 15 सेमी और AD = 20 सेमी है। DB, चतुर्भुज ABCD का विकर्ण है। दिया गया है कि ADCB का क्षेत्रफल ADAB के क्षेत्रफल का 75% है। इसका अर्थ है कि ADCB का क्षेत्रफल ADAB के क्षेत्रफल का 3/4 है। त्रिभुज ABC के लिए, हेरॉन के सूत्र से, s = (10 + 15 + 20)/2 = 22.5. इसलिए, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल √(22.5 * 12.5 * 2.5 * 7.5) = 75√3/4 वर्ग सेमी है। अब, ADCB के क्षेत्रफल का ADAB के क्षेत्रफल से अनुपात = (त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल) / (त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल) = 3/4. त्रिभुज ABC और त्रिभुज ACD के क्षेत्रफलों का योग त्रिभुज ABC और त्रिभुज ABD के क्षेत्रफल के योग का 3/4 है। इससे हमें त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल = (1/4) * (त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल) = (1/4) * (75√3/4) = 75√3/16 वर्ग सेमी प्राप्त होता है। इसलिए, त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल = (1/2) * AB * (ऊँचाई) = 75√3/16. त्रिभुज ABC में, ऊँचाई = √(15² - (10/2)²) = 5√3/2 सेमी है। इसलिए, AB = 75√3/16 * 2 / (5√3/2) = 15/2 सेमी है। अतः, AB की लम्बाई = 15/2 = 7.5 सेमी है।

△ABC में, M भुजा AB का मध्यबिंदु है। बिंदु N, △ABC के भीतर इस प्रकार है कि CN, ∠C का कोण समद्विभाजक है और CN ⊥ NB. दिया गया है कि BC = 10 सेमी और AC = 15 सेमी, तो MN की लंबाई ज्ञात कीजिए। CN, ∠C का कोण समद्विभाजक है। इसलिए, ∠BCN = ∠ACN. दिया गया है कि CN ⊥ NB. इसलिए, △BNC एक समकोण त्रिभुज है। अब, △BNC और △CNC में, ∠BNC = ∠CNC = 90° और ∠BCN = ∠ACN. इसलिए, △BNC ~ △CNC (AA समरूपता)। इसलिए, BN/CN = CN/NC = BC/AC. इससे हमें BN = BC² / AC = 10² / 15 = 20/3 सेमी प्राप्त होता है। अब, △BNM में, MN = √(BM² + BN²) = √((AB/2)² + (20/3)²) = √((10/2)² + (20/3)²) = √(250/9) = 5√10/3 सेमी। इसलिए, MN की लंबाई 5√10/3 सेमी है।

एक दुकानदार ₹24,000 में 12 पंखे खरीदता है। वह प्रत्येक पंखे का मूल्य उसके क्रय मूल्य से 25% अधिक अंकित करता है। अंकित मूल्य = ₹24,000 / 12 + (25/100) * (₹24,000 / 12) = ₹2,000 + ₹500 = ₹2,500 है। 10% की छूट के साथ बेचने पर, प्रत्येक पंखे का विक्रय मूल्य = ₹2,500 - (10/100) * ₹2,500 = ₹2,500 - ₹250 = ₹2,250 होता है। इसलिए, 12 पंखों का कुल विक्रय मूल्य = ₹2,250 * 12 = ₹27,000 है। कुल लाभ = ₹27,000 - ₹24,000 = ₹3,000।