Représentation du repère de l’espace affine I.3

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Questions and Answers

Quel est le type de base formé par les vecteurs libres du repère de l'espace affine ?

Une base orthogonale.

Comment peut-on géométriquement représenter la somme de deux vecteurs ?

Par le vecteur représenté par la diagonale du parallélogramme formé par les deux vecteurs.

Quel est le résultat de la multiplication d'un vecteur par un scalaire ?

Un vecteur de même direction et de même sens, mais de module égal au produit du module du vecteur initial par le scalaire.

Quel est le produit scalaire de deux vecteurs.nulls ?

Nul. Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de commutativité du produit scalaire ?

Le produit scalaire est commutatif. Signup and view all the answers

Quel est le produit vectoriel de deux vecteurs perpendiculaires ?

Un vecteur de module non nul. Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de commutativité du produit vectoriel ?

Le produit vectoriel est anticommutatif. Signup and view all the answers

Interprétation géométrique du module du produit vectoriel ?

Le module du produit vectoriel représente l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un scalaire ?

Un scalaire est une grandeur totalement définie par un nombre et une unité. Signup and view all the answers

Quels sont les éléments qui définissent un vecteur ?

L'origine, la direction, le sens et l'intensité. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un vecteur unitaire ?

Un vecteur unitaire est un vecteur qui a la même direction que le vecteur initial et de norme égale à 1. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un vecteur lié ?

Un vecteur lié est un vecteur dont l'origine A est fixé. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un espace affine ?

L'espace affine est l'ensemble des points que l'on note A, B, M, N, etc. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un repère de l'espace affine ?

Un repère de l'espace affine est noté où O est un point de l'espace affine E pris comme origine et est une base de l'espace des vecteurs libres. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un vecteur glissant ?

Un vecteur glissant est un vecteur dont le point d'application se déplace sur la droite. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un espace vectoriel ?

L'espace vectoriel est l'ensemble des vecteurs que l'on note avec une lettre minuscule. Signup and view all the answers

Study Notes

Scalaires et Vecteurs

Un scalaire est une grandeur définie par un nombre et une unité (par exemple, temps, température, masse, énergie, volume).
Un vecteur est une entité mathématique définie par une origine, une direction, un sens et une intensité.
L'origine d'un vecteur est le point d'application.
La direction d'un vecteur est la droite qui le porte, définie par l'angle θ mesuré entre un axe de référence et le support.
Le sens d'un vecteur représente l'orientation origine-extrémité et est symbolisé par une flèche.
L'intensité d'un vecteur représente la valeur de la grandeur mesurée.

Vecteurs unitaires, liés et glissants

À chaque vecteur, on peut associer un vecteur unitaire qui a la même direction et une norme égale à 1.
Un vecteur unitaire est obtenu en divisant le vecteur initial par son module.
Les vecteurs liés sont notés avec une origine A fixée.
Les vecteurs glissants ont un point d'application qui se déplace sur la droite.

Espace affine et espace vectoriel

L'espace affine réel de dimension 3 est noté E.
Les éléments de E sont des points notés A, B, M, N, etc.
L'espace vectoriel attaché à E est noté E et ses éléments sont des vecteurs.
Un repère affine est noté (O, i, j, k) où O est un point de l'espace affine E pris comme origine et (i, j, k) est une base de l'espace des vecteurs libres.

Opérations sur les vecteurs

La somme de deux vecteurs est représentée géométriquement par le parallélogramme.
La multiplication d'un vecteur par un scalaire est possible.
Le produit scalaire de deux vecteurs est défini par OA.OB.cos(θ) où θ est l'angle AOB.
Le produit scalaire est commutatif et distributif par rapport à l'addition.
Si le produit scalaire est nul, alors les vecteurs sont perpendiculaires.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs est défini par le vecteur OC avec un module égal à OA.OB.sin(θ).
Le produit vectoriel est perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs OA et OB.
Le produit vectoriel est anticommutatif et distributif par rapport à l'addition.
Le produit vectoriel a une interprétation géométrique.