Relazioni tra Insiemi e la loro Notazione

In matematica, una relazione tra due insiemi A e B è un modo per associare alcuni o tutti gli elementi di A a uno o più elementi di B. Questa associazione è generalmente definita da una proprietà espressa tramite un'affermazione aperta.

Un'affermazione aperta è una frase con una o più variabili che diventa vera o falsa a seconda dei valori assegnati alle variabili. Ad esempio, "x è un numero pari" è un'affermazione aperta. Per diventare vera o falsa, bisogna specificare il valore di x.

Due elementi x e y sono in relazione se e solo se l'affermazione aperta che definisce la relazione diventa vera quando si sostituiscono x e y alle variabili.

Un insieme è un insieme di oggetti distinti. Ad esempio, l'insieme A = {stella, luna, oro} contiene tre oggetti distinti: stella, luna e oro.

Un elemento è un oggetto che fa parte di un insieme. Ad esempio, "stella" è un elemento dell'insieme A = {stella, luna, oro}.

Un elemento y è l'immagine di un elemento x se esiste una relazione R che li collega. Si scrive xRy per indicare che x è in relazione con y.

Il dominio di una relazione è l'insieme di tutti gli elementi del primo insieme che hanno almeno un'immagine nel secondo insieme.

L'immagine di una relazione è l'insieme di tutti gli elementi del secondo insieme che sono immagine di almeno un elemento del primo insieme.

Un modo per rappresentare una relazione è usando un grafico orientato, in cui i nodi rappresentano gli elementi dei due insiemi e le frecce indicano la relazione tra loro.

Oltre al grafico orientato, le relazioni possono essere rappresentate anche attraverso elenchi, tabelle a doppia entrata e diagrammi cartesiani.

Un insieme di coppie ordinate (x, y) dove x è in relazione con y. L'insieme di queste coppie ordinate è un sottoinsieme di AxB ed è chiamato grafico di R.

Rappresentare gli insiemi A e B usando diagrammi di Venn e poi connettere gli elementi in relazione con frecce. Ad esempio, se x è in relazione con y, una freccia che parte da x e arriva a y.

Costruire una tabella, simile a quella utilizzata per rappresentare AxB, e contrassegnare le celle che rappresentano gli elementi appartenenti al grafico di R con simboli (ad esempio, una croce). In alternativa, mettere 1 nelle celle corrispondenti o 0 altrimenti.

Segnare, in un diagramma cartesiano simile a quello utilizzato per rappresentare AxB, i punti corrispondenti al grafico di R.

Un sottoinsieme di AxB.

Un grafico è una rappresentazione visiva di una relazione tra elementi. I punti nel grafico sono chiamati nodi e rappresentano gli elementi. Le linee che collegano i nodi sono chiamate archi e rappresentano la relazione tra gli elementi.

Un nodo è un punto in un grafico che rappresenta un elemento nell'insieme relazionato.

Un arco è una linea in un grafico che collega due nodi e rappresenta la relazione tra gli elementi.

Un arco che collega un nodo a se stesso rappresenta che l'elemento è in relazione con se stesso.

Se due elementi sono in relazione reciproca (a è in relazione a b e b è in relazione a a), allora l'arco tra loro avrà due frecce.