Relaciones entre conjuntos A y B

• Sean A y B dos conjuntos, una relación de A en B es un subconjunto del producto cartesiano AxB
• Si R es una relación de A en B y (x, y) ∈ R, y es una imagen de x
• Todo conjunto está incluido en sí mismo, por lo que AxB es una relación de A en B.
• Una relación de A en B puede escribirse por extensión o por comprensión
• Si R es una relación de un conjunto A en otro conjunto B, A se llama alcance y B rango de la relación R
• El dominio de R, D(R), son los elementos x en A tal que (x, y) ∈ R
• La imagen de R, R(A), son los elementos y en B tal que (x, y) ∈ R
• Una relación se puede representar gráficamente mediante diagramas de Venn o en gráficos cartesianos
• Dada una relación R de A en B, existe su inversa, R⁻¹, de B en A, tal que (x, y) ∈ R⁻¹ si (y, x) ∈ R
• Si A es un conjunto no vacío, una relación en A es un subconjunto del producto cartesiano A x A
• Una relación R es de orden amplio en A si cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva
• Una relación R es de orden estricto en A si cumple las propiedades asimétrica y transitiva
• R es un orden total en A si, para todo x, y ∈ A, (x, y) ∈ R o (y, x) ∈ R, si no es un orden total, diremos que es un orden parcial
• R es una relación de equivalencia en A si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva
• La clase de equivalencia de a, denotada como ā, es el conjunto de todos los elementos de A que se relacionan con a: ā = {x ∈ A / (x, a) ∈ R}
• El conjunto cociente, A/R, es el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de elementos de A

Identidad

• Definimos la identidad en A como la relación iA: A→A / iA(x) = x con lo cual (x,y) ∈ IA = y=x
• Además la identidad verifica propiedad reflexiva, propiedad transitiva y propiedad simétrica
• La clasificación dada no es exhaustiva, en efecto, la relación R = {(1,2), (2,1)} en el conjunto A = {1, 2, 3} no es clasificable porque no cumple la propiedad transitiva, pues (1,2) ∈ R ∧ (2,1) ∈ R ∧ (1,1) ∉ R
• Además no es excluyente, puesto que existen relaciones que son de orden amplio y de equivalencia, en cualquier conjunto A ≠ ∅
• Si R es una relación de equivalencia en un conjunto no vacío A, A/R es una partición de A

Funciones

• Una relación f de A en B es una función si, a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B
• Los conjuntos alcance y dominio de f son iguales, ∀x ∈ A: f(x) ∈ B
• Con cada elemento de A tiene una única imagen en B,
• Una relación f de A en B es una función si, y sólo si, a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B
• Si xe A tal que iA(x) = y ∧ iA(x) = z, x = y ∧ x = z; reemplazando en la segunda igualdad x por su igual (y), resulta que y = z.

Clasificación de funciones

• f es inyectiva si, y sólo si, x ≠ y -> f(x) ≠ f(y)
• f es sobreyectiva si, y sólo si, f(A) = B
• f es biyectiva si, y sólo si, f es inyectiva y sobreyectiva

Igualdad

• Dadas dos funciones f: A→ B y g: C → D, definimos la igualdad como sigue:
• f = g ⇔ A = C ∧ ∀x∈A: f(x) = g(x)

Función inversa

• Si f: A→B es una función, y f-1: B → A es su inversa, entonces f-1 es función si, y sólo si, f es biyectiva
• Sean f: A → Byg: C→D funciones, tales que f(A) ⊆ C
• La composición de f y g, en ese orden, es la función siguiente:
• gof: A→D / (gof)(x) = g[f(x)]

Propiedades

• gof ≠ fog
• Sif yg son inyectivas, gof es inyectiva
• Si B = C, fyg son sobreyectivas, entonces, gof es sobreyectiva
• Sif es biyectiva, fof-1 = iB ^ f-1of = iA
• Si f, g son inyectivas, gof es inyectiva
• Si B = C, f y g son sobreyectivas, entonces gof es sobreyectiva
• Si B = C, f y g son biyectivas, gof es biyectiva
• Si f es biyectiva, f o f⁻¹ = iB ∧ f⁻¹ o f = iA