Podcast Beta
Questions and Answers
Niz $x_n = rac{1}{n}$ je monotono opadajući.
True
Red $ rac{1}{n}$ je konvergentan.
False
Koji kriterij koristimo da bismo zaključili o konvergenciji naizmjeničnog reda?
Leibnitzov kriterij
Šta je uslov za primjenu Leibnitzovog kriterija?
Signup and view all the answers
Funkcija $f(x) = rac{1}{x - ext{ln} x}$ je strogo monotono opadajuća za $x > 1$.
Signup and view all the answers
Šta se dešava sa limitom niza $x_n = rac{1}{n - ext{ln} n}$ kada $n$ ide ka beskonačnosti?
Signup and view all the answers
Red $ rac{(-1)^{n-1}}{n - ext{ln} n}$ __________.
Signup and view all the answers
Povežite izraze sa njihovim svojstvima:
Signup and view all the answers
Study Notes
Redovi i konvergencija
- Alternativni red $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ je konvergentan prema Leibnitzovom kriteriju.
- Niz $x_n = \frac{1}{n}$ je monotono opadajući jer vrijedi $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{n+1} < 1$.
- Granica niza $x_n$ teži 0 kada $n$ teži beskonačnosti.
- Red $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ je divergentan, što znači da je $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ uslovno konvergentan.
Provjera konvergencije
- Konvergenciju reda $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n - \ln n}$ provodimo putem funkcije $f(x) = \frac{1}{x - \ln x}$ za $x > 1$.
- Derivacija $f'(x) = \frac{-1}{x(x-\ln x)^2} < 0$ pokazuje da je funkcija strogo monotono opadajuća.
- Vrijedi $x_n = f(n) > f(n + 1) = x_{n+1}$ za sve $n \in N$.
- Također, $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n - \ln n} = 0$.
Značaj konvergencije
- Oba uslova Leibnitzovog kriterija su zadovoljena, što implicira konvergenciju reda.
- Primjer uslovno konvergentnog reda: $s = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...$.
- Pomnožavanjem tog reda sa 2 dobijamo novu jednakost: $2s = 2 - 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + ...$.
- Grupišući sabirke na desnoj strani omogućava analizu daljnje konvergencije.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
Ovaj kviz istražuje konvergenciju redova, fokusirajući se na alternativni red i Leibnitzovo kriterij. Uključuje provjeru konvergencije kroz funkciju i analizu monotonskih nizova. Saznajte više o uslovno konvergentnim redovima i njihovim važnostima.
