Redovi i konvergencija
8 Questions
1 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Niz $x_n = rac{1}{n}$ je monotono opadajući.

True

Red $ rac{1}{n}$ je konvergentan.

False

Koji kriterij koristimo da bismo zaključili o konvergenciji naizmjeničnog reda?

Leibnitzov kriterij

Šta je uslov za primjenu Leibnitzovog kriterija?

<p>Niz mora biti monotono opadajući i njegov limit mora biti 0.</p> Signup and view all the answers

Funkcija $f(x) = rac{1}{x - ext{ln} x}$ je strogo monotono opadajuća za $x > 1$.

<p>True</p> Signup and view all the answers

Šta se dešava sa limitom niza $x_n = rac{1}{n - ext{ln} n}$ kada $n$ ide ka beskonačnosti?

<p>Limit je 0.</p> Signup and view all the answers

Red $ rac{(-1)^{n-1}}{n - ext{ln} n}$ __________.

<p>konvergira</p> Signup and view all the answers

Povežite izraze sa njihovim svojstvima:

<p>$s = rac{1}{2} ext{(naizmjenični red)}$ = uslovno konvergentan $2s$ = grupisanje naizmjeničnih članova $s = 1 - rac{1}{2} + rac{1}{3} - ...$ = niz naizmjeničnih članova</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Redovi i konvergencija

  • Alternativni red $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ je konvergentan prema Leibnitzovom kriteriju.
  • Niz $x_n = \frac{1}{n}$ je monotono opadajući jer vrijedi $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{n+1} < 1$.
  • Granica niza $x_n$ teži 0 kada $n$ teži beskonačnosti.
  • Red $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ je divergentan, što znači da je $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ uslovno konvergentan.

Provjera konvergencije

  • Konvergenciju reda $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n - \ln n}$ provodimo putem funkcije $f(x) = \frac{1}{x - \ln x}$ za $x > 1$.
  • Derivacija $f'(x) = \frac{-1}{x(x-\ln x)^2} < 0$ pokazuje da je funkcija strogo monotono opadajuća.
  • Vrijedi $x_n = f(n) > f(n + 1) = x_{n+1}$ za sve $n \in N$.
  • Također, $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n - \ln n} = 0$.

Značaj konvergencije

  • Oba uslova Leibnitzovog kriterija su zadovoljena, što implicira konvergenciju reda.
  • Primjer uslovno konvergentnog reda: $s = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...$.
  • Pomnožavanjem tog reda sa 2 dobijamo novu jednakost: $2s = 2 - 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + ...$.
  • Grupišući sabirke na desnoj strani omogućava analizu daljnje konvergencije.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Description

Ovaj kviz istražuje konvergenciju redova, fokusirajući se na alternativni red i Leibnitzovo kriterij. Uključuje provjeru konvergencije kroz funkciju i analizu monotonskih nizova. Saznajte više o uslovno konvergentnim redovima i njihovim važnostima.

More Like This

Use Quizgecko on...
Browser
Browser