Redovi i konvergencija

Redovi i konvergencija

• Alternativni red $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ je konvergentan prema Leibnitzovom kriteriju.
• Niz $x_n = \frac{1}{n}$ je monotono opadajući jer vrijedi $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{n+1} < 1$.
• Granica niza $x_n$ teži 0 kada $n$ teži beskonačnosti.
• Red $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ je divergentan, što znači da je $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ uslovno konvergentan.

Provjera konvergencije

• Konvergenciju reda $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n - \ln n}$ provodimo putem funkcije $f(x) = \frac{1}{x - \ln x}$ za $x > 1$.
• Derivacija $f'(x) = \frac{-1}{x(x-\ln x)^2} < 0$ pokazuje da je funkcija strogo monotono opadajuća.
• Vrijedi $x_n = f(n) > f(n + 1) = x_{n+1}$ za sve $n \in N$.
• Također, $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n - \ln n} = 0$.

Značaj konvergencije

• Oba uslova Leibnitzovog kriterija su zadovoljena, što implicira konvergenciju reda.
• Primjer uslovno konvergentnog reda: $s = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ...$.
• Pomnožavanjem tog reda sa 2 dobijamo novu jednakost: $2s = 2 - 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + ...$.
• Grupišući sabirke na desnoj strani omogućava analizu daljnje konvergencije.