रियल नंबर्स की परिभाषा और संपत्तियां

Study Notes

Definition

A real number is a value that can be represented on the number line. It is a subset of complex numbers that can be expressed as a finite decimal or fraction.

Properties

Commutative Property: The order of addition or multiplication of real numbers does not change the result.
- a + b = b + a
- a × b = b × a
Associative Property: The order in which real numbers are added or multiplied does not change the result.
- (a + b) + c = a + (b + c)
- (a × b) × c = a × (b × c)
Distributive Property: Real numbers can be distributed across addition and multiplication.
- a × (b + c) = a × b + a × c
Existence of Additive and Multiplicative Identities: Real numbers have an additive identity (0) and a multiplicative identity (1).
- a + 0 = a
- a × 1 = a
Existence of Additive and Multiplicative Inverses: Each real number has an additive inverse (-a) and a multiplicative inverse (1/a) except for 0.
- a + (-a) = 0
- a × (1/a) = 1 (a ≠ 0)

Types of Real Numbers

Rational Numbers: Real numbers that can be expressed as the ratio of two integers (e.g., 3/4, 22/7).
Irrational Numbers: Real numbers that cannot be expressed as the ratio of two integers (e.g., π, e).
Algebraic Numbers: Real numbers that are the root of a polynomial equation with rational coefficients (e.g., √2, 3 + √5).
Transcendental Numbers: Real numbers that are not the root of any polynomial equation with rational coefficients (e.g., π, e).

Operations on Real Numbers

Addition: The sum of two real numbers is always a real number.
Subtraction: The difference of two real numbers is always a real number.
Multiplication: The product of two real numbers is always a real number.
Division: The quotient of two real numbers is a real number except when dividing by 0.

वास्तविक संख्याओं की परिभाषा

वास्तविक संख्या एक मान है जिसका प्रतिनिधित्व संख्या रेखा पर किया जा सकता है।
यह जटिल संख्याओं का उपसamosa है जिसे एक सीमित दशमलव या भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं के गुण

संचalan गुण: वास्तविक संख्याओं के योगफल या गुणनफल में क्रम का परिवर्तन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
- a + b = b + a
- a × b = b × a
सहचालन गुण: वास्तविक संख्याओं के योगफल या गुणनफल में क्रम का परिवर्तन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
- (a + b) + c = a + (b + c)
- (a × b) × c = a × (b × c)
वितरण गुण: वास्तविक संख्याओं का योगफल और गुणनफल में वितरण किया जा सकता है।
- a × (b + c) = a × b + a × c
आदिเอก और गुणएक का अस्तित्व: वास्तविक संख्याओं में एक आदिเอก (0) और एक गुणएक (1) है।
- a + 0 = a
- a × 1 = a
आदिएक और गुणएक का अस्तित्व: प्रत्येक वास्तविक संख्या में एक आदिएक (-a) और एक गुणएक (1/a) है, 0 को छोड़कर।
- a + (-a) = 0
- a × (1/a) = 1 (a ≠ 0)

वास्तविक संख्याओं के प्रकार

अभाज्य संख्या: वास्तविक संख्याएं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (जैसे 3/4, 22/7)।
अभीज संख्या: वास्तविक संख्याएं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है (जैसे π, e)।
बीजीय संख्या: वास्तविक संख्याएं जो एक बहुपद समीकरण के मूल है जिसके गुणांक अभाज्य हैं (जैसे √2, 3 + √5)।
अतिबीजीय संख्या: वास्तविक संख्याएं जो किसी भी बहुपद समीकरण के मूल नहीं है जिसके गुणांक अभाज्य हैं (जैसे π, e)।

वास्तविक संख्याओं पर संचालन

योग: दो वास्तविक संख्याओं का योगफल हमेशा एक वास्तविक संख्या होता है।
अन्तर: दो वास्तविक संख्याओं का अन्तर हमेशा एक वास्तविक संख्या होता है।
गुणन: दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल हमेशा एक वास्तविक संख्या होता है।
भाग: दो वास्तविक संख्याओं का भागफल एक वास्तविक संख्या होता है, 0 से विभाजित करने के अलावा।

Description