Ramas de las matemáticas

• Las matemáticas son el estudio de la estructura, el cambio y las relaciones.

Ramas de las matemáticas

• Aritmética: estudio de los números y las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división).
• Álgebra: estudio de los símbolos y las reglas que los manipulan; generalización de la aritmética.
• Geometría: estudio de las formas, tamaños, posiciones relativas de las figuras y las propiedades del espacio.
• Trigonometría: estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
• Cálculo: estudio del cambio continuo, incluyendo límites, derivadas, integrales y series infinitas.
• Estadística: estudio de la recolección, análisis, interpretación, presentación y organización de datos.
• Probabilidad: estudio de la incertidumbre y los eventos aleatorios.
• Topología: estudio de las propiedades geométricas que se conservan bajo deformaciones continuas (estiramiento, torsión, etc.).
• Lógica matemática: estudio formal del razonamiento y la inferencia.
• Teoría de números: estudio de los números enteros y sus propiedades.

Aritmética

• Operaciones básicas: suma (+), resta (-), multiplicación (× o ·), división (÷ o /).
• Números naturales: 1, 2, 3, ... (enteros positivos).
• Números enteros: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... (incluyen los números naturales, sus negativos y el cero).
• Números racionales: números que pueden expresarse como una fracción a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0.
• Números irracionales: números que no pueden expresarse como una fracción exacta, como √2 o π.
• Números reales: conjunto de números que incluye tanto los racionales como los irracionales.
• Orden de las operaciones: PEMDAS/BODMAS (Paréntesis/Corchetes, Exponentes/Órdenes, Multiplicación y División, Adición y Sustracción).
• Propiedades de las operaciones:
  • Conmutativa: a + b = b + a, a × b = b × a.
  • Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c), (a × b) × c = a × (b × c).
  • Distributiva: a × (b + c) = a × b + a × c.

Álgebra

• Variables: símbolos (generalmente letras) que representan cantidades desconocidas o que pueden cambiar.
• Expresiones algebraicas: combinaciones de variables, números y operaciones.
• Ecuaciones: afirmaciones que establecen la igualdad entre dos expresiones algebraicas.
• Resolución de ecuaciones: encontrar los valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera.
• Tipos de ecuaciones:
  • Lineales: la variable tiene exponente 1.
  • Cuadráticas: la variable tiene exponente 2.
  • Polinómicas: involucran polinomios de grado superior.
• Sistemas de ecuaciones: conjunto de dos o más ecuaciones que deben resolverse simultáneamente.
• Inecuaciones: expresiones que comparan dos cantidades usando símbolos como < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que).
• Funciones: relación entre un conjunto de entradas (dominio) y un conjunto de salidas (rango), donde cada entrada tiene una única salida.
• Tipos de funciones:
  • Lineales: f(x) = mx + b.
  • Cuadráticas: f(x) = ax² + bx + c.
  • Exponenciales: f(x) = a^x.
  • Logarítmicas: f(x) = logₐ(x).
  • Trigonométricas: seno, coseno, tangente, etc.

Geometría

• Puntos, líneas y planos: elementos fundamentales de la geometría.
• Figuras geométricas:
  • Triángulos: figuras de tres lados.
  • Cuadriláteros: figuras de cuatro lados (cuadrados, rectángulos, paralelogramos, rombos, trapecios).
  • Círculos: conjunto de puntos equidistantes de un centro.
  • Polígonos: figuras cerradas formadas por segmentos de línea recta.
• Área: medida de la superficie de una figura bidimensional.
• Perímetro: longitud del contorno de una figura bidimensional.
• Volumen: medida del espacio ocupado por un objeto tridimensional.
• Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, a² + b² = c², donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.
• Ángulos:
  • Recto: 90 grados.
  • Agudo: menos de 90 grados.
  • Obtuso: más de 90 grados pero menos de 180 grados.
  • Llano: 180 grados.
• Congruencia: figuras que tienen la misma forma y tamaño.
• Semejanza: figuras que tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños.

Trigonometría

• Funciones trigonométricas: seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec), cotangente (cot).
• Relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo:
  • sin(θ) = cateto opuesto / hipotenusa.
  • cos(θ) = cateto adyacente / hipotenusa.
  • tan(θ) = cateto opuesto / cateto adyacente.
• Identidades trigonométricas: ecuaciones que son verdaderas para todos los valores de las variables.
• Ley de los senos: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C).
• Ley de los cosenos: c² = a² + b² - 2ab cos(C).
• Unidades de medida de ángulos: grados y radianes.

Cálculo

• Límites: valor al que se acerca una función cuando la variable independiente se acerca a un valor determinado.
• Derivadas: medida de la tasa de cambio instantánea de una función.
• Reglas de derivación:
  • Regla de la potencia: d/dx (xⁿ) = nxⁿ⁻¹.
  • Regla de la suma/resta: d/dx (u ± v) = du/dx ± dv/dx.
  • Regla del producto: d/dx (uv) = u dv/dx + v du/dx.
  • Regla del cociente: d/dx (u/v) = (v du/dx - u dv/dx) / v².
  • Regla de la cadena: d/dx (f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x).
• Integrales: proceso inverso de la derivación, utilizado para encontrar el área bajo una curva.
• Tipos de integrales:
  • Definidas: tienen límites de integración y dan como resultado un valor numérico.
  • Indefinidas: no tienen límites de integración y dan como resultado una función.
• Teorema fundamental del cálculo: relaciona la derivación y la integración.
• Aplicaciones del cálculo: optimización, cálculo de áreas y volúmenes, modelado de fenómenos físicos.

Estadística

• Población: conjunto completo de elementos que se estudian.
• Muestra: subconjunto de la población que se utiliza para hacer inferencias sobre la población.
• Tipos de datos:
  • Cualitativos: no numéricos (ej. color, género).
  • Cuantitativos: numéricos (ej. edad, altura).
• Medidas de tendencia central:
  • Media: promedio de los valores.
  • Mediana: valor central cuando los datos están ordenados.
  • Moda: valor que aparece con más frecuencia.
• Medidas de dispersión:
  • Rango: diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.
  • Varianza: medida de la dispersión de los datos alrededor de la media.
  • Desviación estándar: raíz cuadrada de la varianza.
• Probabilidad: medida de la posibilidad de que ocurra un evento.
• Distribuciones de probabilidad: funciones que describen la probabilidad de diferentes resultados en un experimento aleatorio (ej. distribución normal, distribución binomial).
• Inferencia estadística: proceso de hacer conclusiones sobre una población basadas en una muestra.
• Pruebas de hipótesis: procedimientos para determinar si hay suficiente evidencia para rechazar una hipótesis nula.

Probabilidad

• Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
• Evento: subconjunto del espacio muestral.
• Probabilidad de un evento: medida de la posibilidad de que ocurra el evento, entre 0 y 1.
• Reglas de probabilidad:
  • Probabilidad de la unión de dos eventos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
  • Probabilidad de la intersección de dos eventos independientes: P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
  • Probabilidad condicional: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).
• Variables aleatorias: variables cuyo valor es el resultado numérico de un fenómeno aleatorio.
• Distribuciones de probabilidad:
  • Discretas: la variable solo puede tomar valores específicos (ej. distribución binomial, distribución de Poisson).
  • Continuas: la variable puede tomar cualquier valor dentro de un rango (ej. distribución normal, distribución exponencial).
• Valor esperado: promedio ponderado de los posibles valores de una variable aleatoria.
• Varianza y desviación estándar: medidas de la dispersión de una variable aleatoria.

Las matemáticas exploran estructura, cambio y relaciones. Incluyen aritmética, álgebra y geometría. También cálculo, estadística y probabilidad para entender patrones y el espacio.