रेखीय समीकरणों की प्रणालियाँ

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अध्याय 1: रेखीय समीकरणों की प्रणालियाँ

• यह अध्याय रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर चर्चा करता है।

1.1 परिचय

• $n$ अज्ञात राशियों वाला एक रैखिक समीकरण $x_1, x_2,..., x_n$ रूप का एक समीकरण है: $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$, जहाँ $a_1, a_2,..., a_n, b$ दिए गए स्थिरांक हैं।
• $n$ अज्ञात राशियों वाले $m$ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली $x_1, x_2,..., x_n$ रूप की एक प्रणाली है: $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1$, $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2$,..., $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m$, जहाँ $a_{ij}$ और $b_i$ दिए गए स्थिरांक हैं।
• समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान n संख्याओं की एक सूची $s_1, s_2,..., s_n$ है जो, जब क्रमशः $x_1, x_2,..., x_n$ के लिए प्रतिस्थापित की जाती है, तो प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करती है।
• रैखिक समीकरणों की प्रणाली $x - y = 1$ $2x + y = 6$ का समाधान $x = \frac{7}{3}, y = \frac{4}{3}$ है, क्योंकि $\frac{7}{3} - \frac{4}{3} = 1$ $2(\frac{7}{3}) + \frac{4}{3} = 6$

1.2 गाउस-जॉर्डन विलोपन

• गाउस-जॉर्डन विलोपन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की एक विधि है।
• रैखिक समीकरणों की प्रणाली का संवर्धित मैट्रिक्स प्रणाली के चर के गुणांकों और स्थिरांकों द्वारा गठित मैट्रिक्स है।
• रैखिक समीकरणों की प्रणाली $x - y = 1$ $2x + y = 6$ का संवर्धित मैट्रिक्स है$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix}$
• मैट्रिक्स की पंक्तियों पर प्रारंभिक संक्रियाएँ हैं:
  • एक पंक्ति को एक गैर-शून्य स्थिरांक से गुणा करना।
  • एक पंक्ति में दूसरी पंक्ति का गुणक जोड़ना।
  • दो पंक्तियों का आदान-प्रदान करना।
• मैट्रिक्स की पंक्तियों पर की जाने वाली प्रारंभिक संक्रियाएँ संगत रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के सेट को नहीं बदलती हैं।
• रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना $x - y = 1$ $2x + y = 6$ गाउस-जॉर्डन विलोपन का उपयोग करना। प्रणाली का संवर्धित मैट्रिक्स है: $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix}$
• दूसरी पंक्ति से 2 गुना पहली पंक्ति को घटाकर, हम प्राप्त करते हैं $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix}$
• दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ 0 & 1 & \frac{4}{3} \end{bmatrix}$
• दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़कर, हम प्राप्त करते हैं $\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{7}{3} \ 0 & 1 & \frac{4}{3} \end{bmatrix}$
• इसलिए $x = \frac{7}{3}$ और $y = \frac{4}{3}$।