रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ

रैखिक बीजगणित और मैट्रिक्स विश्लेषण

अध्याय 1: रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ

1.1 परिचय

• रैखिक बीजगणित गणित की एक शाखा है जो सदिश स्थानों और रैखिक परिवर्तनों के अध्ययन से संबंधित है।
• इसका उपयोग इंजीनियरिंग, भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान और अर्थशास्त्र जैसे कई क्षेत्रों में किया जाता है।
• रैखिक समीकरणों की प्रणाली कई अज्ञात से जुड़े रैखिक समीकरणों का एक समूह है।
• इस तरह की प्रणालियों का हल रैखिक बीजगणित में एक बुनियादी समस्या है।

1.2 परिभाषाएँ और नोटेशन

परिभाषा 1.1: रैखिक समीकरण

• n चरों $x_1, x_2,..., x_n$ में एक रैखिक समीकरण निम्नलिखित रूप का एक समीकरण है:
• $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$
• जहाँ $a_1, a_2,..., a_n$ और $b$ वास्तविक (या जटिल) स्थिरांक हैं, जिन्हें गुणांक कहा जाता है।

परिभाषा 1.2: रैखिक समीकरणों की प्रणाली

• n अज्ञात में m रैखिक समीकरणों की प्रणाली निम्नलिखित रूप के समीकरणों का एक समूह है: $ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $
• जहाँ $a_{ij}$ और $b_i$ स्थिरांक हैं।

परिभाषा 1.3: रैखिक प्रणाली का हल

• एक रैखिक प्रणाली का हल अज्ञात $x_1, x_2,..., x_n$ के मानों का एक समूह है जो सिस्टम के सभी समीकरणों को संतुष्ट करता है।

परिभाषा 1.4: संगत और असंगत सिस्टम

• एक रैखिक प्रणाली को संगत कहा जाता है यदि यह कम से कम एक हल स्वीकार करता है।
• एक रैखिक प्रणाली को असंगत कहा जाता है यदि यह कोई हल स्वीकार नहीं करता है।

1.3 रैखिक प्रणाली का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

• रैखिक समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है। निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:

$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $

• इस प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है:
• $Ax = b$
• जहाँ:
• $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix}$ गुणांकों का मैट्रिक्स है।
• $x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \... \ x_n \end{bmatrix}$ अज्ञात का सदिश है।
• $b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \... \ b_m \end{bmatrix}$ स्थिरांक का सदिश है।

परिभाषा 1.5: ऑगमेंटेड मैट्रिक्स

• सिस्टम $Ax = b$ का ऑगमेंटेड मैट्रिक्स मैट्रिक्स $A$ में वेक्टर $b$ को जोड़कर प्राप्त मैट्रिक्स है:
• $[A|b] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} & | & b_1 \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} & | & b_2 \... &... &... &... & | &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} & | & b_m \end{bmatrix}$

1.4 हल करने के तरीके

1.4.1 प्रतिस्थापन विधि

• प्रतिस्थापन विधि में एक समीकरण से अन्य चरों के संदर्भ में एक अज्ञात को व्यक्त करना है, फिर इस अभिव्यक्ति को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करना है।

1.4.2 गॉसियन उन्मूलन विधि

• गॉसियन उन्मूलन विधि रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित विधि है, जो ऑगमेंटेड मैट्रिक्स को एक कम रूप में बदल देती है।
• एल्गोरिथ्म:*

1. ऑगमेंटेड मैट्रिक्स $[A|b]$ लिखें।
2. मैट्रिक्स $A$ को एक कम मैट्रिक्स में बदलने के लिए पंक्तियों पर प्राथमिक संचालन का उपयोग करें। प्राथमिक संचालन हैं:
   • दो पंक्तियों का आदान-प्रदान।
   • एक पंक्ति को एक अशून्य स्थिरांक से गुणा करना।
   • एक पंक्ति के गुणज को दूसरी पंक्ति में जोड़ना।
3. बैक प्रतिस्थापन द्वारा प्राप्त प्रणाली को हल करें।

1.4.3 गॉस-जॉर्डन विधि

• गॉस-जॉर्डन विधि गॉसियन उन्मूलन विधि का एक प्रकार है जो ऑगमेंटेड मैट्रिक्स को एक कम रूप में बदल देता है, जिससे सिस्टम के समाधान को सीधे पढ़ना संभव हो जाता है।
• एल्गोरिथ्म:*

1. एक कम मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए गॉसियन उन्मूलन विधि लागू करें।
2. मैट्रिक्स को एक कम रूप में बदलने के लिए अतिरिक्त प्राथमिक संचालन का उपयोग करें। इसका मतलब है कि सभी पिवोट (प्रत्येक पंक्ति के पहले अशून्य तत्व) 1 के बराबर होने चाहिए, और पिवोट वाले कॉलम के अन्य सभी तत्व शून्य होने चाहिए।

1.5 उदाहरण

उदाहरण 1

• निम्नलिखित रैखिक प्रणाली पर विचार करें: $ \begin{cases} x + y = 3 \ 2x - y = 0 \end{cases} $

• प्रतिस्थापन द्वारा हल:*

• पहले समीकरण से, हमारे पास $y = 3 - x$ है। दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$2x - (3 - x) = 0$ $3x - 3 = 0$ $x = 1$

• इसलिए $y = 3 - 1 = 2$। हल $(x, y) = (1, 2)$ है।

• गॉसियन उन्मूलन द्वारा हल:*

• ऑगमेंटेड मैट्रिक्स है: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 3 \ 2 & -1 & | & 0 \end{bmatrix}$

• ऑपरेशन $L_2 \rightarrow L_2 - 2L_1$ लागू करें: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 3 \ 0 & -3 & | & -6 \end{bmatrix}$

• दूसरी पंक्ति को -3 से विभाजित करें: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 3 \ 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}$

• ऑपरेशन $L_1 \rightarrow L_1 - L_2$ लागू करें: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & | & 1 \ 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}$

• इसलिए हल $x = 1$ और $y = 2$ है।

उदाहरण 2

• निम्नलिखित रैखिक प्रणाली पर विचार करें: $ \begin{cases} x + y + z = 1 \ x - y + z = 2 \ 2x + z = 3 \end{cases} $

• ऑगमेंटेड मैट्रिक्स है: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \ 1 & -1 & 1 & | & 2 \ 2 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix}$

• संचालन $L_2 \rightarrow L_2 - L_1$ और $L_3 \rightarrow L_3 - 2L_1$ लागू करें: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \ 0 & -2 & 0 & | & 1 \ 0 & -2 & -1 & | & 1 \end{bmatrix}$

• ऑपरेशन $L_3 \rightarrow L_3 - L_2$ लागू करें: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \ 0 & -2 & 0 & | & 1 \ 0 & 0 & -1 & | & 0 \end{bmatrix}$

• दूसरी पंक्ति से, हमारे पास $-2y = 1$ है, इसलिए $y = -\frac{1}{2}$। तीसरी पंक्ति से, हमारे पास $-z = 0$ है, इसलिए $z = 0$। पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$x - \frac{1}{2} + 0 = 1$ $x = \frac{3}{2}$

• हल $(x, y, z) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$ है।