Proyecciones de Rango Uno

Study Notes

Para un vector $v \in \mathbb{C}^n$ no nulo, la proyección ortogonal $P$ sobre el espacio generado por $v$ ($span{v}$) se define como $Px = \frac{\langle x, v \rangle}{|v|^2}v$.
Esta proyección $P$ puede expresarse como $P = \frac{vv^*}{|v|^2}$.
La proyección $P$ es autoadjunta, cumpliendo que $P^* = P$.
También, $P$ es idempotente, es decir, $P^2 = P$.
Si $P \in M_n(\mathbb{C})$ satisface $P = P^* = P^2$ y rango$(P) = 1$, entonces $P$ es una proyección ortogonal de rango uno.
Bajo estas condiciones el image$(P) = $ span${v}$ para algún $v \in \mathbb{C}^n$, $v \neq 0$.
Si $y \in$ image$(P)^{\perp}$, entonces $Py = 0$, lo que implica que $\langle Px, y \rangle = \langle x, Py \rangle = 0$.
image$(P)$ e image$(P)^{\perp}$ son complementos ortogonales.
Por lo tanto, todo $x \in \mathbb{C}^n$ puede ser descompuesto como $x = v_1 + v_2$ donde $v_1 \in$ image$(P)$ y $v_2 \in$ image$(P)^{\perp}$, con $Px = v_1$.

Una matriz $A \in M_n(\mathbb{C})$ se considera normal si $AA^* = A^*A$.
Las matrices normales son unitariamente diagonalizables, lo que significa que existe una matriz unitaria $U$ tal que $U^*AU = D$, donde $D$ es una matriz diagonal.
Los elementos diagonales de $D$ son los autovalores $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ de $A$.
Las columnas de $U$, denotadas como $u_1, \dots, u_n$, forman una base ortonormal de $\mathbb{C}^n$ compuesta por autovectores de $A$.
La relación $U^*U = I$ implica que $u_i^*u_j = \delta_{ij}$, donde $\delta_{ij}$ es la delta de Kronecker.
A partir de $U^AU = D$, se deduce que $A = UDU^$, lo que permite expresar $A$ como una suma ponderada de proyecciones ortogonales sobre los autoespacios.
La descomposición espectral de $A$ se escribe como $A = \sum_{i=1}^n \lambda_i u_iu_i^*$.
Cada $P_i = u_iu_i^*$ representa la proyección ortogonal sobre el espacio generado por $u_i$.
Estas proyecciones cumplen $P_iP_j = 0$ si $i \neq j$ (ortogonalidad) y $P_i^2 = P_i$ (idempotencia).