Простые числа в математике

Определение простого числа

• Простое число — натуральное число с двумя различными натуральными делителями: 1 и само число.
• Пример простого числа: 2 (делится только на 1 и 2).
• Непростое (составное) число: 4 (делится на 1, 2 и 4).

Теория чисел

• Изучением простых чисел занимается теория чисел.
• Основная теорема арифметики: каждое целое число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено как произведение простых чисел, единственным образом, с учетом порядка множителей.
• Единица не считается простым числом, чтобы избежать неоднозначности разложения.

Классификация натуральных чисел

• Натуральные числа можно разделить на три класса:
  • Единица (1 делитель).
  • Простые числа (2 делителя).
  • Составные числа (более 2 делителей).
• Как простых, так и составных чисел существует бесконечное множество.

Последовательность простых чисел

• Последовательность простых чисел начинается с 2, 3, 5, 7 и т.д.

Алгоритмы проверки на простоту

• Существуют различные алгоритмы для проверки простоты чисел.
• Метод перебора делителей: простой, но медленный по сравнению с более сложными алгоритмами.

Применение простых чисел

• Простые числа широко используются в математике и связанных областях.
• Важно в алгоритмах информационных технологий, таких как асимметричные криптосистемы.
• Многие проблемы с простыми числами остаются нерешенными.

Обобщения понятия простого числа

• Существуют обобщения простых чисел для произвольных колец и других алгебраических структур.
• Множество простых чисел обозначается символами P или ℙ.

Исторический контекст

• Концепция простого числа известна с древних времен, первоначальные свидетельства относятся к верхнему палеолиту.
• Древнеегипетские математики могли иметь представление о простых числах, как показывают сохранившиеся записи.

Определение простого числа

• Простое число — натуральное число с двумя различными натуральными делителями: 1 и само число.
• Пример простого числа: 2 (делится только на 1 и 2).
• Непростое (составное) число: 4 (делится на 1, 2 и 4).

Теория чисел

• Изучением простых чисел занимается теория чисел.
• Основная теорема арифметики: каждое целое число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено как произведение простых чисел, единственным образом, с учетом порядка множителей.
• Единица не считается простым числом, чтобы избежать неоднозначности разложения.

Классификация натуральных чисел

• Натуральные числа можно разделить на три класса:
  • Единица (1 делитель).
  • Простые числа (2 делителя).
  • Составные числа (более 2 делителей).
• Как простых, так и составных чисел существует бесконечное множество.

Последовательность простых чисел

• Последовательность простых чисел начинается с 2, 3, 5, 7 и т.д.

Алгоритмы проверки на простоту

• Существуют различные алгоритмы для проверки простоты чисел.
• Метод перебора делителей: простой, но медленный по сравнению с более сложными алгоритмами.

Применение простых чисел

• Простые числа широко используются в математике и связанных областях.
• Важно в алгоритмах информационных технологий, таких как асимметричные криптосистемы.
• Многие проблемы с простыми числами остаются нерешенными.

Обобщения понятия простого числа

• Существуют обобщения простых чисел для произвольных колец и других алгебраических структур.
• Множество простых чисел обозначается символами P или ℙ.

Исторический контекст

• Концепция простого числа известна с древних времен, первоначальные свидетельства относятся к верхнему палеолиту.
• Древнеегипетские математики могли иметь представление о простых числах, как показывают сохранившиеся записи.

Простые и составные числа

• Простое число — это натуральное число больше 1, которое не является произведением двух меньших натуральных чисел.
• Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым.
• Например, 5 является простым числом, так как его единственные произведения — 1 × 5 или 5 × 1. Число 4 — составное, так как 2 × 2.

Принципиальная теорема арифметики

• Каждое натуральное число больше 1 либо само является простым, либо может быть разложено на произведение простых чисел, уникальное с точки зрения порядка множителей.
• Свойство быть простым называется «примальностью».

Проверка на простоту

• Простой, но медленный метод проверки простоты числа ( n ) — пробное деление, где проверяется, является ли ( n ) кратным любому целому числу от 2 до ( \sqrt{n} ).
• Быстрые алгоритмы включают тест простоты Миллера-Рабина, который имеет небольшой шанс ошибки, и тест АКС, который всегда дает правильный ответ, но медленнее для практического применения.
• Для чисел особых форм, таких как числа Мерсенна, существуют особенно быстрые методы.

Известные простые числа

• По состоянию на декабрь 2018 года, самое большое известное простое число — это простое число Мерсенна с 24,862,048 десятичными цифрами.
• Доказано, что простых чисел бесконечно много (Евклид около 300 г. до н.э.).

Теория распределения простых чисел

• Нет известной простой формулы, отделяющей простые числа от составных.
• Распределение простых чисел в натуральных числах можно статистически определить.
• Теорема о простых числах, доказанная в конце 19 века, утверждает, что вероятность случайно выбранного большого числа быть простым обратно пропорциональна количеству его цифр (логарифму).

Неразрешенные вопросы в теории чисел

• Гипотеза Гольдбаха утверждает, что каждое четное число больше 2 можно выразить как сумму двух простых чисел.
• Гипотеза о близнецах предполагает, что существует бесконечно много пар простых чисел, различающихся на два.

Применение простых чисел

• Простые числа используются в информационных технологиях, например, в криптографии с открытым ключом, основанной на трудности разложения больших чисел на простые множители.
• В абстрактной алгебре объекты, которые ведут себя подобно простым числам, включают простые элементы и идеалы.

Определения и примеры

• Натуральное число считается простым, если больше 1 и не может быть представлено в виде произведения двух меньших натуральных чисел.
• Числа, большие 1, но не простые, называются составными.
• Пример простых чисел среди 1–6: 2, 3 и 5 являются простыми (не делятся нацело другими числами).

Делители

• Делители натурального числа ( n ) — это натуральные числа, которые делят ( n ) нацело.
• Каждое натуральное число имеет делителями 1 и само себя.

Простые и составные числа

• Простое число — это натуральное число больше 1, которое не является произведением двух меньших натуральных чисел.
• Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым.
• Например, 5 является простым числом, так как его единственные произведения — 1 × 5 или 5 × 1. Число 4 — составное, так как 2 × 2.

Принципиальная теорема арифметики

• Каждое натуральное число больше 1 либо само является простым, либо может быть разложено на произведение простых чисел, уникальное с точки зрения порядка множителей.
• Свойство быть простым называется «примальностью».

Проверка на простоту

• Простой, но медленный метод проверки простоты числа ( n ) — пробное деление, где проверяется, является ли ( n ) кратным любому целому числу от 2 до ( \sqrt{n} ).
• Быстрые алгоритмы включают тест простоты Миллера-Рабина, который имеет небольшой шанс ошибки, и тест АКС, который всегда дает правильный ответ, но медленнее для практического применения.
• Для чисел особых форм, таких как числа Мерсенна, существуют особенно быстрые методы.

Известные простые числа

• По состоянию на декабрь 2018 года, самое большое известное простое число — это простое число Мерсенна с 24,862,048 десятичными цифрами.
• Доказано, что простых чисел бесконечно много (Евклид около 300 г. до н.э.).

Теория распределения простых чисел

• Нет известной простой формулы, отделяющей простые числа от составных.
• Распределение простых чисел в натуральных числах можно статистически определить.
• Теорема о простых числах, доказанная в конце 19 века, утверждает, что вероятность случайно выбранного большого числа быть простым обратно пропорциональна количеству его цифр (логарифму).

Неразрешенные вопросы в теории чисел

• Гипотеза Гольдбаха утверждает, что каждое четное число больше 2 можно выразить как сумму двух простых чисел.
• Гипотеза о близнецах предполагает, что существует бесконечно много пар простых чисел, различающихся на два.

Применение простых чисел

• Простые числа используются в информационных технологиях, например, в криптографии с открытым ключом, основанной на трудности разложения больших чисел на простые множители.
• В абстрактной алгебре объекты, которые ведут себя подобно простым числам, включают простые элементы и идеалы.

Определения и примеры

• Натуральное число считается простым, если больше 1 и не может быть представлено в виде произведения двух меньших натуральных чисел.
• Числа, большие 1, но не простые, называются составными.
• Пример простых чисел среди 1–6: 2, 3 и 5 являются простыми (не делятся нацело другими числами).

Делители

• Делители натурального числа ( n ) — это натуральные числа, которые делят ( n ) нацело.
• Каждое натуральное число имеет делителями 1 и само себя.