Propriétés de la Transformée de Fourier

Propriétés De La Transformée De Fourier

Linéarité
- Si ( f(t) ) et ( g(t) ) sont des fonctions avec leurs transformées respectives ( F(\omega) ) et ( G(\omega) ), alors :
- ( \mathcal{F}{a f(t) + b g(t)} = a F(\omega) + b G(\omega) ) pour ( a, b ) constants.
Décalage Temporel
- Si ( f(t) ) a pour transformée ( F(\omega) ), alors :
- ( \mathcal{F}{f(t - t_0)} = e^{-i \omega t_0} F(\omega) ) pour un décalage ( t_0 ).
Décalage Fréquentiel
- Pour une fonction ( f(t) ) avec transformée ( F(\omega) ) :
- ( \mathcal{F}{e^{i \omega_0 t} f(t)} = F(\omega - \omega_0) ).
Multiplication par un Signal
- Si ( g(t) ) est une fonction avec transformée ( G(\omega) ), alors :
- ( \mathcal{F}{f(t) g(t)} = \frac{1}{2\pi} F(\omega) * G(\omega) ) (convolutions en fréquence).
Propriétés de Symétrie
- Symétrie conjuguée :
  - Si ( f(t) ) est réel, alors ( F(-\omega) = \overline{F(\omega)} ).
- Parité :
  - ( f(-t) ) a la transformée ( F(-\omega) ).
Théorème de Plancherel
- La norme au carré dans le domaine temps est égale à la norme au carré dans le domaine fréquence :
- ( \int |f(t)|^2 dt = \int |F(\omega)|^2 d\omega ).
Transformée de Fourier Inverse
- Permet de retrouver la fonction originale :
- ( f(t) = \frac{1}{2\pi} \int F(\omega) e^{i \omega t} d\omega ).
Relation avec les Dérivées
- Dérivée temporelle :
- ( \mathcal{F}{f'(t)} = i \omega F(\omega) ).
- Dérivée n-ième :
- ( \mathcal{F}{f^{(n)}(t)} = (i \omega)^n F(\omega) ).
Théorème de Riemann-Lebesgue
- Pour toute fonction ( f \in L^1 ), ( F(\omega) \to 0 ) quand ( |\omega| \to \infty ).
Convergence de la Transformée
- Conditions sous lesquelles la transformée de Fourier existe, souvent liées à l'intégrabilité et à la décroissance des fonctions.

Propriétés de la Transformée de Fourier

La transformée de Fourier est un outil puissant pour analyser les signaux et est définie par la formule: ( \mathcal{F}{f(t)} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt ).
La transformée de Fourier possède un certain nombre de propriétés importantes qui facilitent son utilisation et son interprétation.

Linéarité

La transformée de Fourier est linéaire, c'est-à-dire que la transformée de la somme pondérée de deux fonctions est égale à la somme pondérée de leurs transformées respectives.
Formellement, pour deux fonctions ( f(t) ) et ( g(t) ) avec leurs transformées respectives ( F(\omega) ) et ( G(\omega) ), et pour des constantes ( a ) et ( b ), on a: ( \mathcal{F}{a f(t) + b g(t)} = a F(\omega) + b G(\omega) ).

Décalage Temporel

Un décalage temporel dans le domaine temporel correspond à une multiplication par un facteur exponentiel complexe dans le domaine fréquentiel.
Pour une fonction ( f(t) ) avec transformée ( F(\omega) ), un décalage temporel de ( t_0 ) donne: ( \mathcal{F}{f(t - t_0)} = e^{-i \omega t_0} F(\omega) ).

Décalage Fréquentiel

Un décalage fréquentiel dans le domaine fréquentiel correspond à une multiplication par un facteur exponentiel complexe dans le domaine temporel.
Pour une fonction ( f(t) ) avec transformée ( F(\omega) ), un décalage fréquentiel de ( \omega_0 ) donne: ( \mathcal{F}{e^{i \omega_0 t} f(t)} = F(\omega - \omega_0) ).

Multiplication par un Signal

La transformée de Fourier du produit de deux fonctions est égale à la convolution de leurs transformées respectives.
Pour deux fonctions ( f(t) ) et ( g(t) ) avec leurs transformées respectives ( F(\omega) ) et ( G(\omega) ), on a: ( \mathcal{F}{f(t) g(t)} = \frac{1}{2\pi} F(\omega) * G(\omega) ).

Propriétés de Symétrie

Si ( f(t) ) est une fonction réelle, sa transformée de Fourier a une symétrie conjuguée : ( F(-\omega) = \overline{F(\omega)} ).
Pour une fonction ( f(t) ), la transformée de ( f(-t) ) est donnée par ( F(-\omega) ).

Théorème de Plancherel

Le théorème de Plancherel établit que la norme au carré d'une fonction dans le domaine temporel est égale à la norme au carré de sa transformée de Fourier dans le domaine fréquentiel.
Formellement, ( \int |f(t)|^2 dt = \int |F(\omega)|^2 d\omega ).

Transformée de Fourier Inverse

La transformée de Fourier inverse permet de retrouver la fonction originale à partir de sa transformée de Fourier.
Elle est donnée par: ( f(t) = \frac{1}{2\pi} \int F(\omega) e^{i \omega t} d\omega ).

Relation avec les Dérivées

La transformée de Fourier d'une dérivée est liée à la transformée de la fonction d'origine par une multiplication par ( i \omega ).
Formellement, ( \mathcal{F}{f'(t)} = i \omega F(\omega) ) et la transformée de la n-ième dérivée est ( \mathcal{F}{f^{(n)}(t)} = (i \omega)^n F(\omega) ).

Théorème de Riemann-Lebesgue

Le théorème de Riemann-Lebesgue stipule que pour toute fonction ( f \in L^1 ), sa transformée de Fourier tend vers zéro lorsque la fréquence tend vers l'infini.
Formellement, ( F(\omega) \to 0 ) quand ( |\omega| \to \infty ).

Convergence de la Transformée

L'existence de la transformée de Fourier dépend de la nature de la fonction ( f(t) ).
Des conditions comme l'intégrabilité et la décroissance de la fonction sont souvent nécessaires pour garantir sa convergence.

Transformée de Fourier: Propriétés

Linéarité: La transformée de Fourier est une opération linéaire. Cela signifie que la transformée de la somme de deux signaux est égale à la somme des transformées de Fourier de chaque signal. De même, la transformée de Fourier d'un signal multiplié par une constante est égale à la constante multipliée par la transformée de Fourier du signal.
Translation temporelle: Si un signal est décalé dans le temps, sa transformée de Fourier est multipliée par un facteur exponentiel complexe.
Translation fréquentielle: Si un signal est multiplié par une exponentielle complexe, sa transformée de Fourier est décalée dans le domaine fréquentiel.
Symétrie: La transformée de Fourier d'un signal réel et pair est une fonction réelle et paire. La transformée de Fourier d'un signal réel et impair est une fonction imaginaire et impaire.
Dérivation: La transformée de Fourier de la dérivée n-ième d'un signal est égale à jn fois la transformée de Fourier du signal d'origine, élevé à la puissance n.
Intégration: La transformée de Fourier de l'intégrale n-ième d'un signal est égale à 1/jn fois la transformée de Fourier du signal d'origine, élevé à la puissance n.
Produit de convolution: La transformée de Fourier du produit de convolution de deux signaux est égale au produit des transformées de Fourier individuelles des deux signaux.
Superposition: La transformée de Fourier de la superposition de plusieurs signaux est égale à la somme des transformées de Fourier individuelles de chaque signal.
Modulation: La transformée de Fourier de la modulation d'un signal par un signal sinusoïdal est égale à la translation de la transformée de Fourier du signal original dans le domaine fréquentiel, vers les fréquences de la porteuse et ses harmoniques.