Propiedades de Operaciones Algebraicas

Study Notes

A binary operation * is commutative if and only if:
- a * b = b * a for all a and b
Examples of commutative operations:
- Addition of real numbers
- Multiplication of real numbers
- Union of sets
Not all operations are commutative:
- Matrix multiplication (in general)
- Function composition (in general)

A binary operation * is associative if and only if:
- (a * b) * c = a * (b * c) for all a, b, and c
Examples of associative operations:
- Addition of real numbers
- Multiplication of real numbers
- Union of sets
Not all operations are associative:
- Matrix multiplication (in general)
- Function composition (in general)
- Subtraction of real numbers (not associative)

A binary operation * distributes over another binary operation + if and only if:
- a * (b + c) = a * b + a * c for all a, b, and c
Examples of distributive operations:
- Multiplication distributes over addition of real numbers
- Intersection of sets distributes over union of sets
Not all operations are distributive:
- Matrix multiplication does not distribute over matrix addition
- Function composition does not distribute over addition of real numbers

Una operación binaria * es conmutativa si y solo si:
- a * b = b * a para todos a y b
Ejemplos de operaciones conmutativas:
- Adición de números reales
- Multiplicación de números reales
- Unión de conjuntos
No todas las operaciones son conmutativas:
- Multiplicación de matrices (en general)
- Composición de funciones (en general)

Una operación binaria * es asociativa si y solo si:
- (a * b) * c = a * (b * c) para todos a, b y c
Ejemplos de operaciones asociativas:
- Adición de números reales
- Multiplicación de números reales
- Unión de conjuntos
No todas las operaciones son asociativas:
- Multiplicación de matrices (en general)
- Composición de funciones (en general)
- Sustracción de números reales (no asociativa)

Una operación binaria * se distribuye sobre otra operación binaria + si y solo si:
- a * (b + c) = a * b + a * c para todos a, b y c
Ejemplos de operaciones distributivas:
- La multiplicación se distribuye sobre la adición de números reales
- La intersección de conjuntos se distribuye sobre la unión de conjuntos
No todas las operaciones son distributivas:
- La multiplicación de matrices no se distribuye sobre la adición de matrices
- La composición de funciones no se distribuye sobre la adición de números reales