Propiedades de Operaciones Algebraicas

Properties of Algebraic Operations

Commutativity

• A binary operation * is commutative if and only if:
  • a * b = b * a for all a and b
• Examples of commutative operations:
  • Addition of real numbers
  • Multiplication of real numbers
  • Union of sets
• Not all operations are commutative:
  • Matrix multiplication (in general)
  • Function composition (in general)

Associativity

• A binary operation * is associative if and only if:
  • (a * b) * c = a * (b * c) for all a, b, and c
• Examples of associative operations:
  • Addition of real numbers
  • Multiplication of real numbers
  • Union of sets
• Not all operations are associative:
  • Matrix multiplication (in general)
  • Function composition (in general)
  • Subtraction of real numbers (not associative)

Distributivity

• A binary operation * distributes over another binary operation + if and only if:
  • a * (b + c) = a * b + a * c for all a, b, and c
• Examples of distributive operations:
  • Multiplication distributes over addition of real numbers
  • Intersection of sets distributes over union of sets
• Not all operations are distributive:
  • Matrix multiplication does not distribute over matrix addition
  • Function composition does not distribute over addition of real numbers

Propiedades de Operaciones Algebraicas

Conmutatividad

• Una operación binaria * es conmutativa si y solo si:
  • a * b = b * a para todos a y b
• Ejemplos de operaciones conmutativas:
  • Adición de números reales
  • Multiplicación de números reales
  • Unión de conjuntos
• No todas las operaciones son conmutativas:
  • Multiplicación de matrices (en general)
  • Composición de funciones (en general)

Asociatividad

• Una operación binaria * es asociativa si y solo si:
  • (a * b) * c = a * (b * c) para todos a, b y c
• Ejemplos de operaciones asociativas:
  • Adición de números reales
  • Multiplicación de números reales
  • Unión de conjuntos
• No todas las operaciones son asociativas:
  • Multiplicación de matrices (en general)
  • Composición de funciones (en general)
  • Sustracción de números reales (no asociativa)

Distributividad

• Una operación binaria * se distribuye sobre otra operación binaria + si y solo si:
  • a * (b + c) = a * b + a * c para todos a, b y c
• Ejemplos de operaciones distributivas:
  • La multiplicación se distribuye sobre la adición de números reales
  • La intersección de conjuntos se distribuye sobre la unión de conjuntos
• No todas las operaciones son distributivas:
  • La multiplicación de matrices no se distribuye sobre la adición de matrices
  • La composición de funciones no se distribuye sobre la adición de números reales