Progressão Aritmética - 10ª Série

Definição

• A progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica onde a diferença entre termos consecutivos é constante, chamada de razão.
• Pode ser representada como: ( a_1, a_2, a_3, \ldots )
• A razão ( r ) é dada por: ( r = a_{n+1} - a_n )

Fórmula Do Termo Geral

• O termo geral de uma PA é dado pela fórmula: [ a_n = a_1 + (n - 1) \times r ] onde:
  • ( a_n ) = enésimo termo
  • ( a_1 ) = primeiro termo
  • ( r ) = razão
  • ( n ) = posição do termo na sequência

Soma Dos Termos

• A soma dos ( n ) primeiros termos de uma PA é calculada pela fórmula: [ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) ] ou [ S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + (n - 1)r) ] onde:
  • ( S_n ) = soma dos ( n ) termos
  • ( a_n ) = enésimo termo

Exemplos Práticos

1. Exemplo 1: Considerar a PA ( 2, 5, 8, 11 )

   • ( a_1 = 2 ), ( r = 3 )
   • ( a_4 = 2 + (4-1) \times 3 = 11 )
   • Soma dos 4 primeiros termos: ( S_4 = \frac{4}{2} \times (2 + 11) = 26 )

2. Exemplo 2: PA de números ímpares ( 1, 3, 5, 7 )

   • ( a_1 = 1 ), ( r = 2 )
   • ( a_5 = 1 + (5-1) \times 2 = 9 )
   • Soma dos 5 primeiros termos: ( S_5 = \frac{5}{2} \times (1 + 9) = 25 )

Aplicações No Cotidiano

• Finanças: cálculo de pagamentos em parcelas fixas como empréstimos ou financiamentos.
• Planejamento: cálculo de lucros crescentes ou incremento de produção ao longo do tempo.
• Estruturas, como escadas e rampas, que crescem de forma constante a cada nível.
• Jogos: contagem de pontuações em incrementos regulares.

Progressão Aritmética (PA)

• Uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde a diferença entre termos consecutivos é constante, chamada de razão.
• A razão (r) pode ser calculada subtraindo um termo qualquer da sequência pelo termo anterior: r = aₙ₊₁ - aₙ.
• A fórmula do termo geral de uma PA é: aₙ = a₁ + (n - 1) * r, onde aₙ é o enésimo termo, a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo na sequência.
• A soma dos n primeiros termos de uma PA pode ser calculada de duas maneiras:
  • Sₙ = n/2 * (a₁ + aₙ)
  • Sₙ = n/2 * (2a₁ + (n - 1) * r)

Exemplos Práticos:

• Exemplo 1: A sequência 2, 5, 8, 11 é uma PA com razão 3.

  • O quarto termo (a₄) é 11, pois a₄ = 2 + (4 - 1) * 3 = 11.
  • A soma dos quatro primeiros termos é 26: S₄ = 4/2 * (2 + 11) = 26.

• Exemplo 2: A sequência 1, 3, 5, 7 é uma PA com razão 2, representando os números ímpares.

  • O quinto termo (a₅) é 9, pois a₅ = 1 + (5 - 1) * 2 = 9.
  • A soma dos cinco primeiros termos é 25: S₅ = 5/2 * (1 + 9) = 25.

Aplicações no Cotidiano:

• Finanças: A progressão aritmética é utilizada para calcular pagamentos em parcelas fixas, como empréstimos ou financiamentos.
• Planejamento: A PA é útil para o cálculo de lucros crescentes ou incremento de produção de forma constante ao longo do tempo.
• Estruturas: A progressão aritmética é aplicada em estruturas como escadas e rampas, onde o tamanho de cada degrau ou inclinação aumenta de forma constante.
• Jogos: A PA é usada para contabilizar pontuações em jogos com incrementos regulares.