Produktionstheorie Kapitel 3

Kapitel 3 - Produktion

• Rudolf Vetschera hält im Sommersemester 2024 diese Vorlesung.

3. Produktion – Inhaltsübersicht

• Die Kapitel beinhaltet die Produktionstheorie, die Kostentheorie, Grundbegriffe der Produktionsplanung und die Planung des aktuellen Produktionsprogramms.

3.1 Produktionstheorie

• Produktion (Fertigung) ist ein Prozess, bei dem zur Herstellung von Gütern Produktionsfaktoren kombiniert und transformiert werden.
• Input entspricht den Produktionsfaktoren.
• Output sind Produkte.
• Die Analyse der Kombination und Transformation von Produktionsfaktoren zur Herstellung von Gütern steht im Mittelpunkt.

3.1.1 Grundlegende Begriffe

• Produktionsprozesse werden mit m Faktoren und n Produkten betrachtet.
  • rᵢ ist die Einsatzmenge des Faktors i, wobei i von 1 bis m läuft.
  • xⱼ ist die Ausbringungsmenge des Produkts j, wobei j von 1 bis n läuft.
• Einsatz- und Ausbringungsmengen lassen sich zusammenfassen in:
  • Faktorvektor r = (r1, ..., rm)
  • Produktvektor x = (x1, ..., xn)
• Ein Faktorvektor r = (r1, ..., rm) und ein mit r herstellbarer Produktvektor x = (x1, ..., xn) bilden eine Aktivität (Produktionsalternative) y = (-r, x).
• Die Menge der in einem Betrieb technisch verfügbaren Aktivitäten wird als Technologie bezeichnet.
• Eine Aktivität y⁰ = (-r⁰, x⁰) wird als effizient bezeichnet, wenn es keine andere Aktivität y = (-r, x) gibt, bei der y ≥ y⁰ und y ≠ y⁰ gilt (d.h. mit mindestens einem ri < ri⁰ oder mindestens einem xi > xi⁰).
• Wenn es zu y⁰ ein y mit den oben genannten Eigenschaften gibt, ist y⁰ ineffizient und wird durch y dominiert.
• Eine Produktionsfunktion ist eine Abbildung f: ℝᵐ → ℝⁿ, die jedem Faktorvektor r die Menge der damit erzeugbaren effizienten Produktvektoren x zuordnet.
• Isoquante: Menge der Faktorkombinationen r, mit denen eine gegebene Ausbringungsmenge x effizient hergestellt werden kann
• Beispiel Möbeltischlerei:
  • Es werden drei Schränke (Produkte) A, B und C hergestellt
  • Die Produktionsfaktoren sind unter anderem 3 Typen von Holzplatten I, II und III.
  • Es gibt 6 alternative Kombinationsmöglichkeiten.
  • Alternative 1: r1 = (3,2,4); x1 = (2,1,3); y1 = (-3,-2,-4,2,1,3)
  • y5 = (-3,-2,-3,2,2,3) dominiert y1
  • Auch A3 und A6 sind wegen A5 ineffizient.

3.1.2 Substitutionale Produktionsfunktionen

• Zwei Faktoren r₁ und r₂ sind gegeneinander substituierbar, wenn durch Reduzieren von r₁ und Erhöhen von r₂ der Output unverändert bleibt.
• Bei partieller Substitutionalität sind Faktoren nicht vollständig austauschbar.
• Bei völliger Austauschbarkeit liegt totale Substitutionalität vor.
• Beispiel Möbeltischlerei: Hier sind Arbeitskraft und Maschinen partiell substituierbar; Arbeitskraft kann durch zusätzliche Abnutzung der Maschinen und Verbrauch von Betriebsstoffen ersetzt werden – und umgekehrt.

3.1.2.1 Das Ertragsgesetz

• Das Boden-Ertragsgesetz von Turgot (1727 bis 1781) beschreibt eine Produktionsfunktion vom Typ A.
• Sei x = f(r1, ..., rm) eine Produktionsfunktion mit n = 1.
• Dabei ist x die Ausbringungsmenge oder der Ertrag von r.
• Die partielle Ableitung xᵢ' = ∂x/∂rᵢ ist der Grenzertrag (oder die -produktivität) von Faktor i.
• Der Grenzertrag ist der Ertrag der letzten zusätzlich eingesetzten Einheit.
• Der Quotient x/rᵢ wird als Durchschnittsertrag von Faktor i bezeichnet; dies ist der durchschnittliche Ertrag jeder eingesetzten Einheit.
• Verlauf von x in Abhängigkeit von r₁ (Phasen der Funktion):
  • I: Bei Konstanz aller übrigen Faktoren (z.B. Saatgut, Dünger) ergibt sich mit (von 0 aus) wachsendem r₁ eine überproportionale Steigerung des Ertrages x; der Grenzertrag steigt; in A ist das Maximum von x erreicht
    • Wendepunkt der Ertragskurve
  • II: x steigt unterproportional; in B ist das Maximum des Durchschnittsertrags
    • Gerade durch Nullpunkt ist Tangente der Ertragskurve
  • III: x steigt weiter unterproportional; in C ist das Maximum des (Gesamt-) Ertrags
  • IV: Der Ertrag fällt mit wachsendem r

3.1.2.2 Neoklassische Produktionsfunktionen: Abnehmende Grenzerträge

• Bei m=2 "Ertragsgebirge": Die Isoquante stellt eine Linie gleicher Ausbringung X dar.
• Die Isoquanten belegen, dass Faktoren gegeneinander (partiell) substituierbar sind.
• Die Klasse der Cobb-Douglas-Funktion(en): x = a * r1α1 * r2α2 * .... * rmαm mit a > 0 und 0 ≤ αi ≤ 1 für alle Faktoren i.
• Die Cobb-Douglas-Funktion ist homogen vom Grade p:= ∑(i=1 bis m) αi.
• Eine Produktionsfunktion x = f(r) wird als homogen vom Grade p > 0 bezeichnet, wenn für alle Vektoren r und λ · r (mit einem Skalar λ > 0 ) gilt: f(λ· r) = λp · f(r).
• λ · r bedeutet eine totale Faktor- oder Niveauvariation.
• Wenn p = 1, spricht man von linearer Homogenität.
• Die Vervielfachung jedes Faktors um λ führt zur Erhöhung des Outputs um λ.
• Beispiele für neoklassische Produktionsfunktionen:
  • x = r13/4 · r21/4 ist linear-homogen; eine Verdopplung des Inputs verdoppelt den Ertrag.
  • x = r1 · r2 ist homogen vom Grade 2; eine Verdopplung von r vervierfacht den Ertrag.
  • Bei m=2 ergibt sich für x = a · r1α1 · r2α2 die Isoquantengleichung: r2 = I(r1 | x) = ˣ√(x/(a · r1α1))
• Die Grenzrate der Substitution sji von Faktor i durch Faktor j gibt an, um wie viel rj erhöht werden muss, um eine (marginale) Verringerung von ri bei Konstanz aller anderen Faktoren auszugleichen
  • sji entspricht der negativen Steigung der Isoquante im Punkt (ri1, rj1)
  • Die Isoquante ist konvex, d.h. sji nimmt mit wachsendem ri ab: je mehr von Faktor i eingesetzt wird, desto weniger ist von j für Substitution nötig.
  • (Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der Substitution).

3.1.3 Limitationale Produktionsfunktionen (Leontief-Produktionsfunktion)

• Das Einsatzverhältnis der Inputfaktoren für die Herstellung von x = (x1, ..., xn) ist fest vorgegeben, was zu einer limitationalen Produktionsfunktion führt.
  • nach Gutenberg: Produktionsfunktionen vom Typ B
• rij ist der Verbrauch von Faktor i (i = 1, ..., m) zur Produktion der Menge xⱼ von j (j = 1, ..., n).
• aij ist der Produktionskoeffizient; dies ist der Verbrauch von Faktor i pro ME des Produktes j.
• 1/aij ist die Produktivität des Faktors i für Produkt j.
• Der Verbrauch von Faktor i für Produkt j ist durch rij := aij · xjbestimmt.
• Der Gesamtverbrauch von Faktor i für das Produktionsprogramm x = (X1, ..., Xn) wird berechnet als: ∑ (j=1 bis n) rij = ∑ (j=1 bis n) aij · xj
• Die Leontief-Produktionsfunktion drückt somit die Faktorfunktion aus (Input in Abhängigkeit vom gewünschten Output).
• Eine Ver-λ-fachung aller Inputs führt zur λ-fachen Ausbringungsmenge.
• Faktoreinsätze stehen bei der Herstellung von xj zueinander im konstanten Verhältnis. (a1j : a2j : ... : amj - unabhängig vom Wert xj)
• Effiziente Produktionspunkte liegen auf einer Prozessgeraden (linearer Prozess = lineare Technologie).
• Der Prozess kann als Funktion x = f(r) ausgedrückt werden: x = min {r₁, 2·r₂}
  • Im Beispiel Möbeltischlerei ist die Montage einfacher Holzstühle ist ein linearer Produktionsprozess
  • Pro Stuhl werden 4 Beine, 1 Sitzfläche, 1 Rückenlehne, 12 Schrauben verbaut.
  • Die Inputfaktoren pro Stuhl sind somit a₁ = 4, a₂ = 1, a₃ = 1, a₄ = 12.
  • Für 10 Stühle werden die 10-fachen Mengen benötigt.

3.1.4 Die Produktionsfunktion von Gutenberg

• Sie basiert grundsätzlich auf der Limitationalität des Faktoreinsatzes.
• In bestimmtem Umfang werden Substitutionsmöglichkeiten von Faktoren unterstellt.
• Sie wurde vor allem zur Erklärung des Verbrauchs von Betriebsstoffen (Strom, Benzin) sowie des Werteverzehrs von Betriebsmitteln entwickelt.
• Für jede Gruppe von Betriebsmitteln (Aggregat) wird eine Verbrauchsfunktion aufgestellt.
• Wesentliche Aussagen: Der Verbrauch rᵢ eines Faktors i beim Betreiben eines Aggregats ist abhängig:
  • vom Zustand des Aggregats, der durch den Zustandsvektor z = (z₁, ..., zₖ) beschreibbar ist (z.B. Alter oder Grad der Instandhaltung),
  • von der Intensität (Produktionsgeschwindigkeit) d, mit der das Aggregat betrieben wird,
  • von der Ausbringungsmenge x.
• Jeder Produktionskoeffizient aᵢ ist bei gegebenem z eine Funktion der Intensität: ai := ai(d)
• typischer u-förmiger Verlauf von αi(d), dem Betriebsstoffverbrauch, abhängig von der Motordrehzahl

3. Maßnahmen zur Anpassung an Beschäftigungsschwankungen:

• Quantitative Anpassung: Anzahl an Produktiveinheiten q variiert bei konstantem t und d.
• Zeitliche Anpassungsmaßnahmen: Variation der Betriebszeit t.
• Intensitätsmäßige Anpassung: Veränderung der Produktionsgeschwindigkeit d.
• Veränderung des Verbrauchs bei intensitätsmäßiger und zeitlicher Anpassung: Bis x₁ und ab x₂ ist die Anpassung intensitätsmäßig, im Intervall x₁ bis x₂ zeitlich.

3.2 Kostentheorie

• Produktionstheorie betrachtet reine Mengen, während die Kostentheorie Bewertungen hinzufügt.

3.2.1 Grundlagen der Kostentheorie

• Kosten sind definert als mit Faktorpreisen bewerteter Verzehr an Sachgütern und Dienstleistungen.
• Die Kosten beziehen sich auf eine Abrechnungsperiode.
• Kosten dienen zur Erhaltung der betrieblichen Leistungsbereitschaft, Leistungserstellung und Leistungsverwertung (weitere Präzisierung im Rechnungswesen).
• Eine Unterscheidung erfolgt in pagatorische und wertmäßige Kosten.
  • Pagatorisch orientiert sich an historischen Anschaffungspreisen.
  • Wertmäßig orientiert sich an Wiederbeschaffungspreisen.
• Opportunitätskosten messen den entgangenen Nutzen, der dadurch entsteht, dass die eingesetzten Produktionsfaktoren einer alternativen Verwendung entzogen werden. (Z.B. kalkulatorische Zinsen und kalkulatorischer Unternehmerlohn)
• Die Kosten zur Herstellung von x Mengeneinheiten eines Gutes bei Faktorpreisen qi und Einsatzmengen ri(x) (i = 1, ..., m) lassen sich berechnen als: K(x) = Σ (i=1 bis m) qi * ri(x)
• Kostenarten:
  • Werkstoffkosten
  • Betriebsmittelkosten (z.B. Abschreibungen)
  • Arbeitskosten (z. B. Zeitlohn, Akkordlohn)
• Kosten in Abhängigkeit von Beschäftigungsänderungen:
  • Fixkosten sind kurz- bis mittelfristig unabhängig von der Beschäftigung.
  • Variable Kosten sind abhängig von der Ausbringung x.
• Gesamtkosten K(x) = Kf + Kv(x)
• Gesamtkosten pro ME = (gesamte) Stück- oder Durchschnittskosten = K(x) / x
• Variable Stückkosten Kv(x) = Kv(x) / x Grenzkosten: K'(x) = ∂K(x)/∂x
• Verläufe der Kurven: Bei s-förmiger Kostenfunktion wachsen die variablen Kosten zunächst unterproportional zu x, ab einem Wendepunkt überproportional.

3.2.2 Kostenfunktionen bei substitutionalen Produktionsfunktionen

Cobb-Douglas-Funktion bei zwei Faktoren mit festen Stückpreisen q₁ und q₂

• Die Kostenfunktion in Abhängigkeit von Einsatzmengen r₁ und r₂ lautet: K(r1, r2) = q₁r₁ + q2r2
• Bei gegebenem K erhält man eine Iso-Kostenlinie.
• Eine Minimalkostenkombination findet man, wenn sich Iso-Kostenlinie und Isoquante tangieren.
• Satz: Bei homogenen Produktionsfunktionen liegen alle Minimalkostenkombinationen auf einer Geraden durch den Ursprung.

• (r1,r2) ist Minimalkostenkombination zu x=1

• Die Kostenfunktion K(x) für homogene Produktionsfunktionen mit m=2 lautet: K(x) = (q1 · r1 + q2·r2) · x1/p mit (r1 , r2) als Minimalkostenkombination
• Dabei ist q1 · r1 + q2 · r2 ein konstanter Wert, der von den Faktorpreisen und der zu ermittelnden Minimalkostenkombination abhängt.
• Wenn q1 · r1 + q2 · r2 = c, dann gilt: Beispiel: Für die Cobb-Douglas-Funktion x = r1 · r2 erhalten wir die Kostenfunktion K(x) = c · √x Begründung: Bei Verdopplung von jedem der beiden Inputs sich der Output vervierfacht -> unterproportionaler Anstieg der Kosten.

3.3 Grundbegriffe der Produktionsplanung

3.3.1 Gegenstand der Produktionsplanung

• Die Produktionsplanung befasst sich mit der Planung herzustellender Produkte und Dienstleistungen, der dafür erforderlichen Produktionsfaktoren sowie der Planung des eigentlichen Produktionsprozesses.
• Sie ist unterteilbar in:
  • Produktionsprogrammplanung: Festlegung zu erstellender Produkte (nach Art, Menge, Zeit)
  • Bereitstellungsplanung: Bereitstellung von Produktionsfaktoren
  • Produktionsprozessplanung: Strukturierung räumlicher und zeitlicher Arbeits- und Bewegungsvorgänge; Planung und Steuerung der Produktionsdurchführung

3.3.2 Produktionsformen

• Unterteilbar nach:
  • Mechanisierungsgrad: Manuelle, mechanisierte und automatisierte Produktion.
  • Stufigkeit der Produktion: Einstufige – mehrstufige.
  • Verbundenheit der Produkte: Kuppelproduktion – Alternativproduktion (bei getrennter Fertigung).
  • Marktbezug (Produktionsanlass): Kundenauftragsfertigung – Markt- oder Lagerfertigung
• Repetitionstyp der Fertigung:
  • Massenfertigung
  • Sortenfertigung: Große Stückzahl, aber verschiedene Varianten (z.B. unterschiedliche Motorentypen bei der PKW-Fertigung).
  • Serienfertigung: Mehrere Produkte jeweils in begrenzter Menge (z. B. Buchdruck).
  • Einzelfertigung: Produziert werden (wenige) Einzelstücke (z. B. Brückenbau, (Häuser-)Baustellenfertigung).
• Anordnungstyp (Organisationsform der Fertigung):
  • Fließfertigung: Räumliche Anordnung der Produktiveinheiten orientiert sich an der zeitlichen Abfolge von Arbeitsgängen.
    • geringe Durchlaufzeiten, geringe Transportstrecken, gleichmäßige Kapazitätsauslastung
    • hohe Kapitalbindung in Betriebsmitteln, geringe Flexibilität hinsichtlich Produktvariationen
  • Werkstattfertigung: Produktiveinheiten werden nach Verrichtungsarten räumlich zu Gruppen (Werkstätten) zusammengefasst.
    • größere Flexibilität durch die Möglichkeit von Maschinenumrüstungen
    • längere Transportwege, höhere Lagerbestände, höhere Durchlaufzeiten und ungleichmäßigere Kapazitätsauslastung
  • Flexible Fertigungszellen: Bestehen aus mehreren Bearbeitungszentren und verfügen über Pufferlager für Werkstücke sowie automatische Spann- und Beladevorrichtungen
  • Baustellenfertigung

3.4 Planung des aktuellen Produktionsprogramms

• Ein einperiodiges, einstufiges Modell für das Produktionsprogramm.
  • Festzulegen sind die Produktionsmengen xj von n Produkten j = 1, ..., n, so dass der gesamte Deckungsbeitrag maximiert wird.
  • Die Einzeldeckungsbeiträge werden als dj := pj - kj berechnet.
  • Für jedes Produkt existiert eine prognostizierte Absatzhöchstmenge bj.
  • Die Produkte werden auf m verschiedenen Produktiveinheiten mit begrenzten Produktionskapazitäten κi (z. B. Maschinenstunden) gefertigt (mit i = 1, ..., m). Die Produktion einer ME des Produktes j benötigt aij KE.
  • Es werden folgende Situationen betrachtet: teilbare Produkte mit einer Kapazitätsbeschränkung, teilbare Produkte mit mehreren Kapazitätsbeschränkungen und unteilbare Produkte mit einer Kapazitätsbeschränkung.

3.4.1 Teilbare Produkte

• Eine Kapazitätsbeschränkung: Die Produkte werden nach relative Deckungsbeitrag (Deckungsbeitrag je Kapazitätseinheit) gereiht bis zur max. produziert.

3.4.2 Teilbare Produkte

• Mehrere Kapazitätsbeschränkungen - Lineares Optimierungsmodell:

  • DB(x) = Maximierung von (j=1 bis n) dj * xj
  • Nebenbedingungen:
    • (j=1 bis n) aij xj ≤ ki für alle i = 1, ..., m (Kapazitätsbeschränkungen)
    • xj ≤ bj für alle j = 1, ..., n (Absatzbeschränkungen)
    • xj ≥ 0 für alle j = 1, ..., n (Nichtnegativitätsbedingungen)
  • Die Bedingung (3.2) unterstellt eine Leontief-Produktionsfunktion.
  • Produktionsprogrammplanung für 2 Produkte P1 und P2 mit Stück-Deckungsbeiträgen und beschränkten Kapazitäten ki an Maschinen und Vorprodukten.
  • Die Bearbeitung einer Mengeneinheit von Produkt j auf Ressource i benötigt aij KE.
  • Es gibt Absatzbeschränkungen, die die maximale Absatzmenge der Produkte begrenzen.
  • Produktionsprogramm mit Maximierung des Gesamt-Deckungsbeitrags = Zielsetzung. Dabei sind x1 und x2 die Produktionsmenge der Produkte P1 und P2. -Darstellung als lineares Optimierungsmodell:
    • max → DB(x1, x2) = 6x1 + 3x2
  • Unter den Nebenbedingungen:
    • x1 + x2 ≤ 100 (Kapazitätsbedingung Maschine Y)
    • x1 + 2x2 ≤ 160 (Kapazitätsbedingung Maschine Z) 3x1 + x2 ≤ 240 (Verfügbarkeit Rohstoff) x1 ≤ 80, x2 ≤ 70 (Absatzgrenzen der Produkte) x1, x2 ≥ 0 (Nichtnegativitätsbedingungen)
  • Lösung linearer Optimierungsmodelle:
  • Graphische „Lösung“ – nur bei zwei Variablen
  • Simplex-Algorithmus (z. B. in Add-Ins von Tabellenkalkulationsprogrammen, wie Excel)

• Graphische Vorgehensweise:

  • Einzeichnen der Nebenbedingungen und Ermittlung der zulässigen Lösungsmenge
  • Umformen in Geradengleichungen:
    • x1 + x2 ≤ 100 wird umgeformt in: x1 + x2 = 100
  • Bestimmen und Verbinden von 2 Punkten: x1 = 0 → x2 = 100, x2 = 0 → x1 = 100
  • Ermitteln der Wirkungsrichtung: x = (0,0) erfüllt x1 + x2 ≤ 100 -> Wirkung in Richtung Ursprung
  • Bilden der Schnittmenge aller für einzelne Nebenbedingungen zulässige Bereiche -> zulässiger Bereich X Lösungsermittlung:
  • Einzeichnen der Zielfunktion und Lösungsermittlung: z.B. 6x1 + 3x2 = 360
  • Einzeichnen der Höhenlinie bei Nebenbedingungen

• Verschieben der Höhenlinie in Richtung höherer Werte (bei Maximierung!), solange der Rand des zulässigen Bereiches noch berührt wird

• Optimaler Lösungspunkt: Optimalwert:DB =510€ Optimales Programm:Produkt P1 mit 70 ME und P2 mit 30 ME