Producto Vectorial en R3

• El producto vectorial se define para dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ como $\vec{a} \times \vec{b} = $.
• Notaciones alternativas incluyen $\vec{a} \wedge \vec{b}$ y $[\vec{a}, \vec{b}]$.
• El producto vectorial solo está definido en $\mathbb{R}^3$.
• El resultado del producto vectorial es un vector.
• Ejemplo: Para $\vec{a} = $ y $\vec{b} = $, el producto cruz $\vec{a} \times \vec{b} = = $.

Notación Determinante

• El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\hat{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k}$.

Ejemplo Usando Determinante

• Para $\vec{a} = $ y $\vec{b} = $, entonces $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 2 & 0 \ -1 & 5 & 2 \end{vmatrix} = (4 - 0)\hat{i} - (2 - 0)\hat{j} + (5 - (-2))\hat{k} = $.

Propiedades del Producto Vectorial

• $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$: El producto vectorial es anticonmutativo.
• $(\alpha\vec{a}) \times \vec{b} = \alpha(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\alpha\vec{b})$: Se puede sacar un escalar del producto vectorial.
• $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$: El producto vectorial distribuye sobre la suma vectorial.
• $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$: Similar a la propiedad anterior, pero con la suma vectorial al principio.

Interpretación Geométrica del Producto Vectorial

• $\lVert \vec{a} \times \vec{b} \rVert = \lVert \vec{a} \rVert \lVert \vec{b} \rVert sin\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{a}$ y $\vec{b}$, y $0 \le \theta \le \pi$.
• El área del paralelogramo determinado por $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es $\lVert \vec{a} \times \vec{b} \rVert$.
• La dirección de $\vec{a} \times \vec{b}$ es perpendicular tanto a $\vec{a}$ como a $\vec{b}$ (regla de la mano derecha).
• Regla de la mano derecha: Si el índice apunta en dirección de $\vec{a}$ y el dedo medio en dirección de $\vec{b}$, el pulgar apunta en dirección de $\vec{a} \times \vec{b}$.

Ejemplo de Vector Perpendicular a un Plano

• Para encontrar un vector perpendicular al plano que pasa por los puntos $P(1, 4, 6)$, $Q(-2, 5, -1)$ y $R(1, -1, 1)$:
  • $\vec{a} = \overrightarrow{PQ} = = $
  • $\vec{b} = \overrightarrow{PR} = = $
  • $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -3 & 1 & -7 \ 0 & -5 & -5 \end{vmatrix} = (-5 - 35)\hat{i} - (15 - 0)\hat{j} + (15 - 0)\hat{k} = $.
  • Entonces $$ es perpendicular al plano dado.

Producto Triple Escalar

• $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ da como resultado un escalar.
• Representa el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$.
• El volumen $V = \lvert \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \rvert$.
• $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$.
• $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.

Ejemplo de Volumen de un Paralelepípedo

• Para los vectores $\vec{a} = $, $\vec{b} = $ y $\vec{c} = $:
• $V = \lvert \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 5 \ 2 & -1 & 1 \ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} -1 & 1 \ 4 & 2 \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 2 & -1 \ 0 & 4 \end{vmatrix} = (-2 - 4) + 5(8 - 0) = -6 + 40 = 34$.