10 Questions
Si A ⊆ B, qu'elle est la relation entre P(A) et P(B) ?
On a P(A) ≤ P(B)
Soit R l’événement "la boule est rouge" et B l’événement "la boule est blanche", trouver P(B) si P(R) = 0,7.
P(B) = 1 - P(R) = 1 - 0,7 = 0,30
Deux événements A et B sont disjoints, qu’elle est la relation entre P(A ∪ B), P(A) et P(B) ?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Qu’est-ce qu’un événement indépendant ?
Un événement est indépendant si la probabilité de cet événement n’est pas affectée par la probabilité d’un autre événement.
Si A et B sont deux événements indépendants, quelle est la relation entre P(A ∩ B) et P(A) et P(B) ?
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Quelle est la théorie qui permet de trouver la probabilité d’une union de deux événements ?
Théorème des probabilités totales.
Si A et B sont deux sous-ensembles de Ω, quelle est la relation entre P(A ∪ B) et P(A), P(B) et P(A ∩ B) ?
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Quelle est la condition pour que deux événements soient disjoints ?
A ∩ B = ∅
Si A et B sont deux événements, quelle est la relation entre P(A) et P(Ā) ?
P(A) + P(Ā) = 1
Deux événements sont-ils necessairement indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ?
Non, il faut que la probabilité de A ne soit pas affectée par la probabilité de B.
Study Notes
Probabilités sur un ensemble fini
- La probabilité conditionnelle est la probabilité de réalisation d'un événement sachant que l'autre est réalisé.
- La théorie de Bayes est utilisée pour calculer la probabilité conditionnelle : P(Ai | B) = P(Ai)P(B | Ai) / P(B).
Événements dépendants et indépendants
- Deux événements A et B sont dépendants si la probabilité sur l'événement A est affectée par la probabilité de B.
- Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité sur l'événement A n'est pas affectée par la probabilité de B.
- Si deux événements sont indépendants, la probabilité qu'ils se réalisent tous les deux est égale au produit de leurs probabilités respectives : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Exemples
- Exemple 1 : Si une souris porte l'anticorps A, alors 2 fois sur 5 elle porte aussi l'anticorps B ; et si une souris ne porte pas l'anticorps A, alors 4 fois sur 5 elle ne porte pas l'anticorps B.
- Exemple 2 : Dans une classe de 36 élèves, 23 élèves ont 18 ans, 29 élèves sont des filles et 17 filles ont 18 ans.
- Exemple 3 : Soit une urne qui contient des boules rouges et des boules blanches. La probabilité de l'événement R est égale 0,7 (i.e., P(R) = 0,7) alors la probabilité de la boule soit blanche est : P(B) = 1 − P(R) = 1 − 0,7 = 0,3.
Propriétés des probabilités d'un événement aléatoire
- La propriété 4 (Théorème des probabilités totales) : Si A et B sont deux sous-ensembles de Ω, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Testez vos connaissances sur les probabilités conditionnelles et le théorème de Bayes avec cet exercice.
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