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Questions and Answers
Dans un test où les patients sont traités avec le médicament A ou B, si on choisit un patient au hasard, quelle est l'interprétation correcte de $P(A) \approx 0.57$ ?
Dans un test où les patients sont traités avec le médicament A ou B, si on choisit un patient au hasard, quelle est l'interprétation correcte de $P(A) \approx 0.57$ ?
- Environ 57% des patients guérissent après avoir pris le médicament A.
- Un patient guéri a 57% de chances d'avoir pris le médicament A.
- La probabilité qu'un patient prenne le médicament B est d'environ 57%.
- Environ 57% des patients ont été traités avec le médicament A. (correct)
Si $P(G)$ représente la probabilité qu'un patient soit guéri, et sachant que $P(G) \approx 0.84$, comment interprétez-vous cette valeur ?
Si $P(G)$ représente la probabilité qu'un patient soit guéri, et sachant que $P(G) \approx 0.84$, comment interprétez-vous cette valeur ?
- 84% des patients ayant pris le médicament B sont guéris.
- 84% des patients inclus dans l'étude sont guéris. (correct)
- Il y a 84% de chances qu'un patient prenne le médicament A.
- 84% des patients ayant pris le médicament A sont guéris.
Dans le contexte des tests cliniques, si $P(G \cap A) \approx 0.48$, que représente cette probabilité ?
Dans le contexte des tests cliniques, si $P(G \cap A) \approx 0.48$, que représente cette probabilité ?
- La probabilité qu'un patient guéri ait été traité avec le médicament B.
- La probabilité qu'un patient soit guéri et ait été traité avec le médicament A. (correct)
- La probabilité qu'un patient soit traité avec le médicament A sachant qu'il est guéri.
- La probabilité qu'un patient soit guéri sachant qu'il a été traité avec le médicament A.
Lorsqu'on calcule $P_G(A)$, qui représente la probabilité qu'un patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri, pourquoi se concentre-t-on uniquement sur la ligne des patients guéris dans le tableau ?
Lorsqu'on calcule $P_G(A)$, qui représente la probabilité qu'un patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri, pourquoi se concentre-t-on uniquement sur la ligne des patients guéris dans le tableau ?
Dans le calcul de probabilités conditionnelles, pourquoi utilise-t-on la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ?
Dans le calcul de probabilités conditionnelles, pourquoi utilise-t-on la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ?
Si on tire une carte d'un jeu de 32 cartes, et que $A$ est l'événement «Le résultat est un pique» et $B$ est l'événement «Le résultat est un roi», comment calcule-t-on $P_A(B)$, la probabilité de tirer un roi sachant qu'on a tiré un pique ?
Si on tire une carte d'un jeu de 32 cartes, et que $A$ est l'événement «Le résultat est un pique» et $B$ est l'événement «Le résultat est un roi», comment calcule-t-on $P_A(B)$, la probabilité de tirer un roi sachant qu'on a tiré un pique ?
Dans un arbre pondéré, comment interprétez-vous une probabilité conditionnelle notée au deuxième niveau de l'arbre ?
Dans un arbre pondéré, comment interprétez-vous une probabilité conditionnelle notée au deuxième niveau de l'arbre ?
Si $A$ et $B$ sont deux événements, et que vous connaissez $P(A)$, $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$, comment utilisez-vous ces informations pour calculer $P(B)$, la probabilité totale de l'événement $B$ ?
Si $A$ et $B$ sont deux événements, et que vous connaissez $P(A)$, $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$, comment utilisez-vous ces informations pour calculer $P(B)$, la probabilité totale de l'événement $B$ ?
Qu'est-ce que signifie l'indépendance de deux événements $A$ et $B$ en termes de probabilité conditionnelle ?
Qu'est-ce que signifie l'indépendance de deux événements $A$ et $B$ en termes de probabilité conditionnelle ?
Dans le contexte d'une expérience répétée, comme tirer une boule d'une urne avec remise, comment déterminez-vous la probabilité d'une séquence spécifique d'événements indépendants ?
Dans le contexte d'une expérience répétée, comme tirer une boule d'une urne avec remise, comment déterminez-vous la probabilité d'une séquence spécifique d'événements indépendants ?
Flashcards
Probabilité conditionnelle de B sachant A
Probabilité conditionnelle de B sachant A
La probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé.
Événements indépendants A et B
Événements indépendants A et B
Événements où la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre.
P(AUB)
P(AUB)
P(A ∩ B) = P(A)+P(B)-P(AUB)
Study Notes
- La probabilité conditionnelle de B sachant A est la probabilité que l'événement B se réalise, sachant que l'événement A s'est déjà produit.
- Elle est notée P(indice A)(B).
- Similaire aux probabilités simples, 0 ≤ P(indice A) (B) ≤ 1.
Calcul d'une Probabilité Conditionnelle avec un Tableau
- Un laboratoire pharmaceutique a testé 800 patients atteints d'une maladie, avec des traitements médicamenteux A et B.
- Pour un patient choisi au hasard, A est l'événement où le patient prend le médicament A, et G est l'événement où le patient guérit.
- P(A) (455/800 ≈ 0,57) représente la probabilité qu'un patient prenne le médicament A.
- P(G) (674/800 ≈ 0,84) représente la probabilité qu'un patient guérisse.
- P(G ∩ A) (383/800 ≈ 0,48) représente la probabilité qu'un patient guérisse et prenne le médicament A.
- P(G̅ ∩ A) (72/800 = 0,09) représente la probabilité qu'un patient ne guérisse pas tout en prenant le médicament A.
- La probabilité qu'un patient ait pris le médicament A, sachant qu'il a guéri, est notée P(indice G)(A) = 383/674 ≈ 0,57, en considérant uniquement la ligne des patients guéris.
- La probabilité qu'un patient guérisse, sachant qu'il a pris le médicament B, est notée P(indice B)(G) = 291/345 ≈ 0,84, en considérant uniquement la colonne du médicament B.
Propriété Fondamentale de la Probabilité Conditionnelle
- P(indice A)(B) = P(A ∩ B) / P(A)
Calcul d'une Probabilité Conditionnelle avec la Formule
- Dans un jeu de 32 cartes, A est l'événement où la carte tirée est un pique, et B est l'événement où la carte tirée est un roi.
- P(A) = 8/32 = 1/4
- P(A ∩ B) = 1/32.
- La probabilité que la carte tirée soit un roi, sachant que c'est un pique, est : P(indice A)(B) = (1/32) / (1/4) = 1/8.
Arbre Pondéré et Probabilités Totales
- Formules importantes incluent P(indice A)(B̅) = 1 − P(indice A)(B) et P(A ∩ B) = P(A) × P(indice A)(B).
Construction d'un Arbre Pondéré
- Pour P(A) = 0,4, P(indice A) (B) = 0,3, et P(indice A̅)(B) = 0,2, ces probabilités sont placées sur l'arbre.
- Les probabilités restantes sont complétées en utilisant P(indice A)(B̅) = 1 − P(indice A)(B).
- Au deuxième niveau de l'arbre, on indique les probabilités conditionnelles.
- Les probabilités d'intersection sont calculées en utilisant P(A ∩ B) = P(A) × P(indice A)(B).
Méthode pour Construire un Arbre Pondéré
- Les données de l'arbre sont traduites en formes de probabilités.
- Calcul de P(A), P(indice A̅)(B̅), et P(A ∩ B̅) à l'aide de l'arbre.
- P(A̅) = 0,6, P(indice A)(B̅) = 0,7, et P(indice A̅)(B) = 0,2.
- Ainsi, P(A) = 1 − P(A̅) = 0,4
- P(indice A)(B) = 1 − P(indice A̅)(B) = 0,8
- P(A ∩ B̅) = P(A) × P(indice A)(B̅) = 0,4 × 0,7 = 0,28.
Formule des Probabilités Totales
- P(B) = P(A ∩ B) + P(A̅ ∩ B)
Application de la Formule des Probabilités Totales
- Lors d'une épidémie bovine, si la maladie est diagnostiquée tôt, elle peut être guérie.
- Un test est développé avec les résultats suivants : 85 % de positivité si l'animal est malade et 95 % de négativité si l'animal est sain.
- M et T représentent respectivement les événements "Être porteur de la maladie" et "Avoir un test positif".
- Calcul de la probabilité qu'un animal ait un test positif et de la probabilité qu'il soit malade si le test est positif.
- Selon les données : P(M) = 0,02 et P(indice M)(T) = 0,85, l'arbre pondéré est construit et complété.
- Avec la formule des probabilités totales, P(T) = P(M ∩ T) + P(M̅ ∩ T) = 0,02 × 0,85 + 0,98 × 0,05 = 0,066.
- La probabilité que le test soit positif est de 6,6 %.
- Calcul de P(indice T)(M) = P(M ∩ T) / P(T) = (0,02 × 0,85) / 0,066 ≈ 0,26.
- La probabilité que le bovin soit malade sachant que le test est positif est d'environ 26 %.
Probabilités et Indépendance
- Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(indice A)(B) = P(B) ou P(indice B)(A) = P(A).
Démonstration de l'Indépendance de Deux Événements
- Dans un jeu de 32 cartes, déterminer si les événements "tirer un roi (R)" et "tirer un trèfle (T)" sont indépendants.
- P(R) = 4/32 = 1/8, P(T) = 8/32 = 1/4, et P(R ∩ T) = 1/32.
- Si P(R) × P(T) = (1/8) × (1/4) = 1/32, alors P(R) × P(T) = P(R ∩ T), ce qui signifie que R et T sont indépendants.
- Nouvelle expérience avec deux jokers ajoutés au jeu.
- Les événements R et T ne sont plus indépendants.
Utilisation de l'Indépendance de Deux Événements
- Dans une population, un individu est atteint par la maladie m avec une probabilité de 0,005 et par la maladie n avec une probabilité de 0,01.
- Si M est l'événement "L'individu a la maladie m" et N est l'événement "L'individu a la maladie n", et que M et N sont indépendants.
- Calcul de la probabilité que l'individu ait au moins une des deux maladies.
- P(E) = P(M ∪ N) = P(M) + P(N) − P(M ∩ N) = 0,005 + 0,01 − 0,005 × 0,01 = 0,01495.
Propriété d'Indépendance
- Si A et B sont indépendants, alors A̅ et B sont également indépendants.
Utilisation de l'Indépendance de Deux Événements
- Lors d'un week-end prolongé, il y a 42 % de risque de bouchons sur l'autoroute A6 et 63 % sur l'autoroute A7.
- Calcul de la probabilité de tomber dans un bouchon sur l'autoroute A7 mais pas sur l'autoroute A6, en supposant que les événements sont indépendants.
- Si A est "Bouchon sur A6" et B est "Bouchon sur A7", alors P(A̅ ∩ B) = P(A̅) × P(B) = (1 − 0,42) × 0,63 = 0,3654.
Succession de Deux Épreuves Indépendantes
- Exemples incluent : lancer un dé et une pièce de monnaie, ou tirer une boule d'une urne avec remise.
Calcul d'une Probabilité sur une Répétition d'Expériences
- Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules rouges.
- Représentation de l'ensemble des issues de ces expériences, et détermination des probabilités d'obtenir deux boules blanches, une boule blanche et une boule rouge, ou au moins une boule blanche.
- Si B est l'événement « Tirer une boule blanche » et R est l'événement « Tirer une boule rouge », alors P(B) = 3/5 = 0,6 et P(R) = 2/5 = 0,4.
- Dans ce contexte, au deuxième niveau de l'arbre, il ne s'agit pas de probabilité conditionnelle.
- Obtenir deux boules blanches correspond à P₁ = 0,36.
- Obtenir une boule blanche et une boule rouge correspond à P₂ = 0,24 + 0,24 = 0,48.
- Obtenir au moins une boule blanche correspond à P₃ = 0,24 + 0,36 + 0,24 = 0,84.
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