Principles of Differentiation

Study Notes

مبادئ التفاضل

التفاضل هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع المعدلات التغير.
يهتم بدراسة المعدل الذي تتغير به كمية ما بالنسبة إلى كمية أخرى.
يُستخدم التفاضل في العديد من المجالات مثل الفيزياء والهندسة والاقتصاد.

مشتقات الدوال

المشتقة هي معدل التغير اللحظي للدالة.
تُرمز للمشتقة عادةً بـ f'(x) أو dy/dx.
تُمثل المشتقة ميل الخط المماس للمنحنى في نقطة محددة.

قواعد اشتقاق الدوال

قاعدة الاشتقاق الثابت: اشتقاق ثابت يساوي صفرًا (d(c)/dx = 0).
قاعدة مجموع/طرح الدوال: مشتق مجموع أو طرح دالتين يساوي مجموع أو طرح مشتقات كل دالة على حدة. (d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)).
قاعدة الضرب: مشتق حاصل ضرب دالتين يساوي حاصل ضرب الأولى في مشتقة الثانية زائد حاصل ضرب الثانية في مشتقة الأولى. (d(f(x)g(x))/dx = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)).
قاعدة القسمة: مشتق حاصل قسمة دالتين يساوي [( المقام × مشتق البسط ) - ( البسط × مشتق المقام ) ] / ( المقام )^2.
قاعدة السلسلة: مشتق دالة مركبة يساوي مشتق الدالة الخارجية مضروباً في مشتق الدالة الداخلية. (d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)).
مشتقات الدوال الأساسية:
- d(xⁿ)/dx = nx^n-1
- d(e^x)/dx = e^x
- d(sin(x))/dx = cos(x)
- d(cos(x))/dx = -sin(x)
- d(ln(x))/dx = 1/x

تطبيقات التفاضل

إيجاد معدلات التغير: معرفة كيف تتغير كمية ما مع تغير أخرى.
إيجاد قيم الحد الأقصى والحد الأدنى للدوال: استخدام المشتقات لإيجاد النقاط الحرجة وتحديد قيم الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة.
إيجاد ميل الخط المماس للمنحنى: حساب ميل الخط المماس لمعرفة المعدل اللحظي للتغير عند نقطة معينة.
الفيزياء: حساب السرعة والتسارع في الحركة، وتحديد نقاط التوازن في الأنظمة الفيزيائية.
الاقتصاد: إيجاد العائد الهامشي وظائف الطلب والعرض.
الهندسة: استخدامها في تصميم المنحنيات والتحكم في عمليات مثل التحكم في حركات الآلات.

أمثلة على المشتقات

مشتقة الدالة f(x) = x² هي f'(x) = 2x.
مشتقة الدالة f(x) = sin(x) + x² هي f'(x) = cos(x) + 2x.
مشتقة الدالة f(x) = e^2x هي f'(x) = 2e^2x (باستخدام قاعدة السلسلة).

تطبيقات عملية

تحديد سرعة القطار اللحظية في زمن معين.
حساب معدل نمو عدد سكان مدينة ما.
وضع خطة مثلى توزيع الموارد.
تصميم مثالي للمنتجات ذات الكلفة المناسبة والطلب المناسب.

قواعد إضافية

مشتق الدالة القوة: d(uⁿ)/dx = nu^n-1 du/dx (قاعدة السلسلة).
مشتق الدوال المثلثية الأخرى: d(tan(x))/dx = sec²(x) , d(cot(x))/dx = -csc²(x) , d(sec(x))/dx = sec(x)tan(x) , d(csc(x))/dx = -csc(x)cot(x).

محددات

يجب التأكد من فهم القواعد الرياضية قبل تطبيقها.
معرفة كيفية معالجة الحالات الخاصة (مثل الدوال المركبة).
دراسة التطبيقات العملية وربطها بالحياة الواقعية .

Description

This quiz covers the fundamentals of differentiation in mathematics, including the concepts of derivatives, their notation, and various rules for calculating derivatives. Explore how differentiation is applied across fields like physics, engineering, and economics.