Princípio de Bernoulli

Princípio de Bernoulli

• Para um fluxo não viscoso, um aumento na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão ou uma diminuição na energia potencial do fluido.
• A equação é: $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = constante$, onde $P$ é a pressão estática, $\rho$ é a densidade, $v$ é a velocidade, $g$ é a aceleração devido à gravidade, e $h$ é a elevação.

Aplicações do Princípio de Bernoulli

• As asas de aeronaves são projetadas para que o ar flua mais rapidamente sobre a parte superior, resultando em menor pressão e criando sustentação.
• Em carburadores, o ar flui mais rápido através de uma constrição, diminuindo a pressão e atraindo combustível para criar uma mistura combustível.
• Pulverizadores usam um fluxo rápido de ar para criar uma área de baixa pressão, que atrai líquido para dentro do fluxo de ar, atomizando-o em um spray.

Equívocos

• O princípio de Bernoulli se aplica a fluxos não viscosos e não considera fatores como turbulência e viscosidade.

Capítulo 4: Aplicações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Modelagem com Equações Diferenciais

• A modelagem matemática traduz informações sobre um fenômeno do mundo real em um modelo matemático.
• É imprescindível estipular as premissas utilizadas na modelagem.
• A validação é precisa para testar se o modelo faz previsões sobre o mundo real.
• Existem modelos descritivos (descrever o que foi observado) e modelos preditivos (prever o valor futuro de uma variável dependente).

Modelos Lineares

• Crescimento e Decaimento: $\frac{dP}{dt} = kP$, onde $P$ é o tamanho da população e $k$ é a constante de proporcionalidade (crescimento se $k > 0$, decaimento se $k < 0$).
• Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_m)$, onde $T$ é a temperatura do corpo, $T_m$ é a temperatura do meio circundante e $k$ é a constante de proporcionalidade.
• Decaimento Radioativo: $\frac{dA}{dt} = kA$, onde $A$ é a quantidade da substância radioativa e $k$ é a constante de decaimento (negativa).

Circuitos em Série

• Circuito LR: $L \frac{di}{dt} + Ri = E(t)$, onde $L$ é a indutância, $R$ é a resistência, $E(t)$ é a força eletromotriz e $i(t)$ é a corrente.
• Circuito RC: $R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = E(t)$, onde $R$ é a resistência, $C$ é a capacitância, $E(t)$ é a força eletromotriz e $q(t)$ é a carga no capacitor.
• Misturas: $\frac{dA}{dt} =$ (Taxa de entrada) - (Taxa de saída), onde $A(t)$ é a quantidade da substância no tanque.

Modelos Não Lineares

• Cadeias: Dada uma corrente flexível suspensa entre dois pontos, o formato da corrente é o resultado de forças que atuam sobre ela.
• Seja $W$ o peso por unidade de comprimento e $T_1$ a tensão no ponto mais baixo $P_1$: $\frac{dy}{dx} = \frac{W}{T_1}s$
• Equação Logística: $\frac{dP}{dt} = P(a - bP)$, onde $P(t)$ é o tamanho da população, $a$ é a taxa de natalidade intrínseca e $b$ é uma constante relacionada à taxa de diminuição da população.
• Reação Autocatalítica: $A + X \xrightarrow{k} X + X$, com $\frac{dx}{dt} = k(a + x)(b - x)$.
• Propagação de Doenças: $\frac{dx}{dt} = kxy$, onde $x(t)$ é o número de infectados, $y(t)$ é o número de suscetíveis e $k$ é a constante de proporcionalidade.
• Equação de Reação: É um tipo de equação diferencial utilizada em problemas de química: $\frac{dx}{dt} = k(A - x)(B - x)$
• Equação de Ricatti: Uma equação diferencial na forma $\frac{dy}{dx} = P(x)y^2 + Q(x)y + R(x)$, onde $P(x)$, $Q(x)$ e $R(x)$ são funções arbitrárias de $x$.

Regras de Divisão

Vocabulário

• Dividendo: O número que está sendo dividido.
• Divisor: O número pelo qual você está dividindo.
• Quociente: A resposta a um problema de divisão.
• Resto: A quantidade restante após a divisão.

Termos essenciais

• Em $19 \div 3 = 6 R1$, 19 é o dividendo, 3 é o divisor, 6 é o quociente e 1 é o resto.
• Resto: Isso ocorre quando um número não divide outro igualmente. O resto é sempre menor que o divisor.

Testes de divisibilidade

• Regras de divisibilidade - são atalhos usados para determinar se um número pode ser dividido igualmente por outro sem realmente dividir.
• Divisível por 2: Se o número terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Divisível por 3: Se a soma dos dígitos for divisível por 3.
• Divisível por 4: Se os dois últimos dígitos formarem um número divisível por 4.
• Divisível por 5: Se o número terminar em 0 ou 5.
• Divisível por 6: Se o número for divisível por 2 e 3.
• Divisível por 9: Se a soma dos dígitos for divisível por 9.
• Divisível por 10: Se o número terminar em 0.

Divisão longa

• Divisão longa - um método usado para dividir números maiores.

Capítulo 14: O Gênio de Marie Tharp

• Marie Tharp, nascida em 1920, teve uma infância incomum devido ao trabalho de seu pai (agrimensor de solos).
• Ingressou na Universidade de Michigan em 1943, onde estudou matemática e depois geologia, obtendo um mestrado.
• Uniu-se ao Observatório Geológico Lamont na Universidade de Columbia em 1948, conhecendo Bruce Heezen.
• Heezen coletava dados de profundidade do fundo do mar, enquanto Tharp os traduzia em mapas.
• Tharp notou uma indentação em forma de V ao longo da Dorsal Mesoatlântica em 1952, sugerindo um vale de fenda.
• Heezen inicialmente rejeitou a ideia de Tharp, mas depois a corroborou, o que impulsionou a teoria da deriva continental.
• A ideia da deriva continental era controversa na década de 1950, o que gerou ceticismo na comunidade científica em relação a Heezen e Tharp.
• Apesar dos desafios, eles publicaram o primeiro mapa fisiográfico do Atlântico Norte em 1957.
• Evidências adicionais, como a descoberta de faixas magnéticas no fundo do mar, apoiaram suas descobertas e levaram à aceitação da tectônica de placas.
• Após a morte de Heezen em 1977, Tharp continuou a trabalhar em mapas e publicou "World Ocean Floor" em 1977.
• Em 1997, ela recebeu reconhecimento da Biblioteca do Congresso.
• Marie Tharp morreu em 2006, legando um trabalho inovador que transformou a compreensão da Terra.

Estática

Vetores de força

• Escalares e Vetores:
  • Escalar: Quantidade caracterizada por um número positivo ou negativo.
  • Vetor: Quantidade que possui magnitude, direção e sentido.
  • É representada graficamente por uma flecha.
  • Magnitude: Comprimento da flecha.
  • Direção: Ângulo entre um eixo de referência e a linha de ação do vetor.
  • Sentido: Indicado pela ponta da flecha.
• Operações Vetoriais:
• Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar.
• Adição de vectores: Lei do Triângulo, Lei do Paralelogramo.
• Vetor Resultante: $\vec{R} =\vec{A} + \vec{B}$.
• Subtração de Vetores: $\vec{R} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$.
• O negativo de um vetor tem a mesma magnitude, mas direção oposta.
• Adição de vetores de força:
  • Encontrar uma Força Resultante:
  • Método Gráfico
  • Trigonometria:
  • Lei dos cossenos: $R = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos(\theta)}$
  • Lei dos senos: $\frac{A}{\sin(a)} = \frac{B}{\sin(b)} = \frac{R}{\sin(c)}$
• Vetores cartesianos:
  • Sistema de Coordenadas Destro:
  • Polegar: eixo z
  • Dedo indicador: eixo x
  • Dedo médio: eixo y

Componentes retangulares de um vetor

• $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$

Onde: $\qquad A_x$, $A_y$, $A_z$ são as componentes de $\vec{A}$ nas direções x, y e z, respectivamente. $\qquad \hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Magnitude do Vetor Cartesiano

$\qquad A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$

Direção de um Vetor Cartesiano

$\qquad \cos \alpha = \frac{A_x}{A}$, $\cos \beta = \frac{A_y}{A}$, $\cos \gamma = \frac{A_z}{A}$

Onde: $\qquad \alpha$, $\beta$, $\gamma$ são os ângulos de direção de $\vec{A}$ em relação aos eixos x, y e z, respectivamente. $\qquad \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$

Adição de Vetores Cartesianos

$\qquad \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j} + (A_z + B_z)\hat{k}$

Vetores de posição

$\qquad \vec{r} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k}$

Onde: $\qquad (x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$ são as coordenadas dos pontos inicial e final do vetor, respectivamente.

Vetor de força direcionado ao longo de uma linha

$\qquad \vec{F} = F\hat{u} = F \frac{\vec{r}}{r}$

Onde: $\qquad \hat{u}$ é um vetor unitário na direção da linha. $\qquad \vec{r}$ é um vetor de posição ao longo da linha. $\qquad r$ é a magnitude do vetor de posição. $\qquad F$ é a magnitude da força.

Produto escalar

$\qquad\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

Aplicações

$\qquad$Ângulo entre dois vetores: $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB}$ $\qquad.$Componente de um vetor em uma dada direção: $A_{\alpha} = A \cos \theta = \vec{A} \cdot \hat{u}$

Cinética Química

• A cinética química é o estudo das taxas de reação, como as taxas de reação mudam sob diversas condições e por qual mecanismo a reação ocorre.

Taxa de reação

• Considere a reação: $aA + bB \longrightarrow cC + dD$, onde $a,b,c,d$ são os coeficientes estequiométricos para a reação equilibrada. A taxa pode ser expressa como: $rate = -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}$

Fatores que afetam a taxa de reação

1. Concentração do reagente
2. Temperatura
3. Presença de um catalisador
4. Área de superfície
5. Pressão (para reações gasosas)
6. Radiação

Lei da taxa

Lei da Taxa: Considere a reação: $aA + bB \longrightarrow cC + dD$ $rate = k[A]^x[B]^y$, onde: k: constante de taxa. x: ordem da reação com relação a A. y: ordem da reação com relação a B. x + y: ordem geral da reação.

Reações de ordem zero

$Taxa = k[A]^0 = k$. A taxa de reação é independente da concentração do reagente. $[A] = [A]0 - kt$. $t{1/2} = \frac{[A]0}{2k}$. $t{1/2}$ é o tempo necessário para que a concentração de um reagente diminua para metade de seu valor inicial.

Reações de primeira ordem

$Taxa = k[A]^1 = k[A]$ A taxa da reação é diretamente proporcional à concentração do reagente. $[A] = [A]_0e^{-kt}$ $ln[A] = ln[A]0 -kt$ $t{1/2} = \frac{0.693}{k}$

Reações de segunda ordem

$Taxa = k[A]^2$ ou $Taxa = k[A][B]$ A taxa da reação é proporcional ao quadrado da concentração do reagente. $\frac{1}{[A]} = \frac{1}{[A]0}+kt$ $t{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$

• A teoria da colisão
• Para que uma reação ocorra, as moléculas reagentes devem colidir umas com as outras com energia e orientação corretas suficientes.

Energia de ativação

• A energia mínima necessária para que uma reação ocorra.
• Distribuição de Maxwell-Boltzmann
• A distribuição de energias cinéticas entre as moléculas em um gás ou líquido. Apenas uma fração das moléculas tem energia suficiente para superar a barreira de energia de ativação.

Equação de Arrhenius

• $k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$
• $E_a$: Energia de ativação
• R: Constante dos gases (8,314 J/mol·K)
• T: Temperatura em Kelvin
• A: Fator de frequência (relacionado à frequência de colisões e à orientação das moléculas)
• A equação de Arrhenius mostra a relação entre a constante de taxa e a temperatura.

Mecanismos de reação

• Um mecanismo de reação é a etapa de reações elementares pelas quais ocorre a mudança química geral

Reações elementares

• Reações que ocorrem em uma única etapa.
• Etapa determinante da taxa
• A etapa mais lenta em um mecanismo de reação. Ele determina a taxa geral da reação.

Multiplicação de matrizes

• Sejam $A = (a_{ij}) \in K^{m \times n}$ e $B = (b_{jk}) \in K^{n \times p}$.
• O produto $C = A \cdot B = (c_{ik}) \in K^{m \times p}$ é definido por $c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jk} \quad \text{para } i = 1,..., m \text{ e } k = 1,..., p$
• A multiplicação de matrizes é definida somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
• A matriz resultante tem o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.

Equações Diferenciais Parciais

• Tipos de EDP:
  1. Equação de transporte: $\frac{\partial u}{\partial t} + b \cdot \nabla u = 0 \quad in \mathbb{R}^n \times (0, \infty)$ $u(x,0) = g(x) \qquad x \in \mathbb{R}^n$
  2. Equação do calor: $\frac{\partial u}{\partial t} - \Delta u = 0 \quad in \mathbb{R}^n \times (0, \infty)$ $u(x,0) = g(x) \qquad x \in \mathbb{R}^n$
  3. Equação de onda: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \Delta u = 0 \quad in \mathbb{R}^n \times (0, \infty)$ $u(x,0) = g(x) \qquad x \in \mathbb{R}^n$ $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = h(x) \qquad x \in \mathbb{R}^n$
• Equações de transporte:
  1. Caso 1-D: $\frac{\partial u}{\partial t} + b \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \quad in \mathbb{R} \times (0, \infty)$ $u(x,0) = g(x) \qquad x \in \mathbb{R}$ A solução é: $u(x,t) = g(x-bt)$
  2. Caso n-D: $\frac{\partial u}{\partial t} + b \cdot \nabla u = 0 \quad in \mathbb{R}^n \times (0, \infty)$ $u(x,0) = g(x) \qquad x \in \mathbb{R}^n$ A solução é: $u(x,t) = g(x-bt)$

Ações automatizadas

• O comércio algorítmico usa programas de computador para executar negociações com base em instruções pré-definidas.
• Também é conhecido como negociação automatizada, negociação de caixa preta ou negociação algo.
• Funcionamento.
  1. Identificar oportunidade: os programadores codificam algoritmos para identificar oportunidades de negociação com base em fatores como preço, tempo e volume.
  2. Regras do programa: as regras são programadas no sistema para definir quais ações tomar quando uma oportunidade é identificada.
  3. Executar negociações: o programa de computador executa automaticamente as negociações quando as condições predefinidas são atendidas.
  4. Monitorar e ajustar: o algoritmo é continuamente monitorado e ajustado para otimizar o desempenho.
• Benefícios
  • Velocidade: os algoritmos podem executar negociações muito mais rápido do que os humanos.
  • Eficiência: as negociações podem ser executadas 24 horas por dia, 7 dias por semana, sem intervenção humana.
  • Emoção reduzida: os algoritmos eliminam a tomada de decisão emocional.
  • Backtesting: os algoritmos podem ser testados em dados históricos para avaliar seu desempenho. Diversificação: os algoritmos podem negociar em vários mercados e instrumentos.
• Desafios
  • Complexidade: o desenvolvimento e a manutenção de algoritmos exigem habilidades especializadas.
  • Overfitting: os algoritmos podem ser superotimizados para ter um bom desempenho em dados históricos, mas um desempenho ruim em dados ao vivo.
  • Problemas técnicos: falhas no sistema, erros de dados e problemas de conectividade podem interromper as negociações.
  • Competição: o cenário de negociação algorítmica é altamente competitivo.
  • Regulamentação: a negociação algorítmica está sujeita a escrutínio regulatório.
• Impacto
  • Aumento da liquidez: a negociação algorítmica aumentou a liquidez em muitos mercados.
  • Redução dos custos de transação: os algoritmos ajudaram a reduzir os custos de transação.
  • Aumento da volatilidade: alguns estudos sugerem que a negociação algorítmica pode contribuir para o aumento da volatilidade.
  • Eficiência do mercado: a negociação algorítmica pode ajudar a melhorar a eficiência do mercado, incorporando rapidamente novas informações aos preços. Acesso ao varejo: plataformas surgiram que permitem aos investidores de varejo utilizar estratégias de negociação algorítmica.

Biologia

• A biologia é o estudo científico da vida nos níveis molecular e celular até os ecossistemas completos.
• Ajuda a compreender o mundo vivo e como funciona, sendo importante para melhorar a saúde humana, a agricultura e a conservação.
• Bioquímica: O estudo das reações químicas que ocorrem nos organismos vivos.
• Biologia celular: O estudo da estrutura e função das células.
• Biologia do desenvolvimento: O estudo de como os organismos crescem e se desenvolvem.
• Ecologia: O estudo de como os organismos interagem uns com os outros e com seu ambiente.
• Biologia evolutiva: O estudo de como os organismos mudam com o tempo.
• Genética: O estudo da hereditariedade.
• Biologia molecular: O estudo da estrutura e função das moléculas biológicas.
• Fisiologia: O estudo de como os organismos funcionam
• Todos os seres vivos compartilham organização em células, metabolismo (anabolismo e catabolismo), homeostase (manutenção de um ambiente interno estável), crescimento, reprodução (sexual ou assexual), resposta a estímulos e adaptação ao longo do tempo.
• Teoria Celula: Afirma que:

1. Todos os seres vivos são compostos por uma ou mais células.
2. A célula é a unidade básica da vida.
3. Todas as células provêm de células preexistentes.

• A observação, a pergunta, a hipótese, a previsão, a experimentação, a análise e a conclusão são etapas iterativas.
• A biologia usa o processo científico para entender a vida.

Aplicações importantes

• Desenvolvimento de novos tratametos para doença
• Melhoria das colheitas
• Conservação do meio ambiente.