Principe de Bernoulli et Tube de Pitot

Principe de Bernoulli

• Pour un écoulement non visqueux, une augmentation de la vitesse se produit simultanément avec une diminution de la pression ou une diminution de l'énergie potentielle du fluide.

• L'équation de Bernoulli est donnée par : $\frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$

• $v$ = vitesse d'écoulement du fluide en un point sur une ligne de courant

• $g$ = accélération due à la gravité

• $z$ = altitude du point au-dessus d'un plan de référence

• $p$ = pression au point

• $\rho$ = masse volumique du fluide

Conditions d'utilisation de l'équation de Bernoulli

• Écoulement non visqueux
• Écoulement régulier
• Écoulement incompressible
• L'équation est appliquée le long d'une ligne de courant

Tube de Pitot

• Un tube de Pitot est un instrument utilisé pour mesurer la vitesse d'écoulement d'un fluide.

• Il sert à mesurer la vitesse locale en un point donné de l'écoulement.

• Un tube de Pitot de base consiste en un tube pointant directement dans l'écoulement du fluide.

• Le fluide étant contenu dans le tube, une pression peut être mesurée.

• Le fluide en mouvement est immobilisé (stagnant) car il n'y a pas de sortie pour permettre à l'écoulement de continuer.

• Cette pression est la pression de stagnation du fluide, également connue sous le nom de pression totale ou (en particulier en aviation) de pression de Pitot.

• La pression de stagnation mesurée ne peut pas être utilisée seule pour déterminer la vitesse d'écoulement du fluide.

• L'équation de Bernoulli peut être appliquée pour relier la pression de stagnation à la pression dynamique et donc à la vitesse d'écoulement du fluide.

• $P_t = P_s + \frac{1}{2} \rho v^2$

• $P_t$ est la pression totale

• $P_s$ est la pression statique

• $\rho$ est la masse volumique du fluide

• $v$ est la vitesse du fluide

• La vitesse du fluide est donc : $v = \sqrt{\frac{2(P_t - P_s)}{\rho}}$

• Un schéma présentant un tube de Pitot mesurant la vitesse d'écoulement, avec des étiquettes indiquant "Prise de pression statique", "Mesure de la pression totale" et les lignes de courant de l'écoulement du fluide autour du tube.

Hypothèse statistique

Définition

• Une hypothèse statistique est une affirmation ou une conjecture concernant une ou plusieurs populations.

Exemple

• $H_1$ : La taille moyenne des étudiants masculins de cette université est de 170 cm.
• $H_2$ : La pièce est équitable.
• $H_3$ : Le nouveau médicament est plus efficace que l'ancien.

Test d'hypothèse

Définition

• Les tests d'hypothèses sont une procédure permettant de déterminer s'il faut accepter ou rejeter une hypothèse sur la base de données d'échantillons.

Logique

• On suppose que l'hypothèse nulle est vraie, puis on examine si les données de l'échantillon sont compatibles avec l'hypothèse nulle. Si les données de l'échantillon ne sont pas compatibles avec l'hypothèse nulle, on rejette l'hypothèse nulle.

Exemple

• On veut tester : $H$ : La pièce est équitable.
• Expérience : On lance la pièce 100 fois et on observe 90 faces.
• Analyse : Si la pièce est équitable, la probabilité d'observer 90 faces en 100 lancers est très faible. On rejette donc l'hypothèse que la pièce est équitable.

Hypothèse nulle vs. Hypothèse alternative

Hypothèse nulle ($H_0$)

• L'hypothèse nulle est l'hypothèse à tester. Généralement, l'hypothèse nulle est une affirmation de "pas d'effet" ou "pas de différence". On espère rejeter l'hypothèse nulle.

Hypothèse alternative ($H_1$ ou $H_a$)

• L'hypothèse alternative est l'hypothèse que nous acceptons si nous rejetons l'hypothèse nulle.

Exemple

• $H_0$ : La pièce est équitable. ($p=0.5$)
• $H_1$ : La pièce n'est pas équitable. ($p \neq 0.5$)
• $H_0$ : Le nouveau médicament n'est pas plus efficace que l'ancien.
• $H_1$ : Le nouveau médicament est plus efficace que l'ancien.

Statistique de test

Définition

• Une statistique de test est une statistique calculée à partir de données d'échantillons pour tester l'hypothèse nulle.

Exemple

• On veut tester $\mu = \mu_0$, où $\mu$ est la moyenne de la population.
• $H_0: \mu = \mu_0$
• $H_1: \mu \neq \mu_0$
• Statistique de test : $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

Zone de rejet

Définition

• La zone de rejet est l'ensemble des valeurs de la statistique de test qui conduit au rejet de l'hypothèse nulle.

Niveau de signification ($\alpha$)

• Le niveau de signification $\alpha$ est la probabilité de rejeter l'hypothèse nulle lorsqu'elle est vraie. Généralement, $\alpha = 0.05$ ou $\alpha = 0.01$.

Valeur critique

• La valeur critique est la valeur qui sépare la zone de rejet de la zone de non-rejet.

Exemple

• $H_0: \mu = \mu_0$
• $H_1: \mu \neq \mu_0$
• Statistique de test : $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$
• Zone de rejet : $|Z| > Z_{\alpha / 2}$

Test unilatéral vs. Test bilatéral

Test unilatéral

• L'hypothèse alternative spécifie que le paramètre est soit supérieur, soit inférieur à une certaine valeur.

Test bilatéral

• L'hypothèse alternative spécifie que le paramètre n'est pas égal à une certaine valeur.

Exemple

• $H_0: \mu = \mu_0$
• $H_1: \mu > \mu_0$ (test unilatéral)
• $H_1: \mu < \mu_0$ (test unilatéral)
• $H_1: \mu \neq \mu_0$ (test bilatéral)

Valeur P

Définition

• La valeur P est la probabilité d'observer une statistique de test aussi extrême ou plus extrême que la valeur réellement observée, en supposant que l'hypothèse nulle soit vraie.

Règle de décision

• Si la valeur P $\leq \alpha$, rejeter $H_0$.
• Si la valeur P $> \alpha$, ne pas rejeter $H_0$.

Exemple

• $H_0: \mu = \mu_0$
• $H_1: \mu \neq \mu_0$
• Statistique de test : $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = z$
• Valeur P $= P(|Z| > |z|) = 2P(Z > |z|)$

Erreur de type I vs. Erreur de type II

Erreur de type I

• Rejeter $H_0$ lorsque $H_0$ est vraie.
• $P(\text{Erreur de type I}) = \alpha$

Erreur de type II

• Ne pas rejeter $H_0$ lorsque $H_0$ est fausse.
• $P(\text{Erreur de type II}) = \beta$

Puissance du test

• La probabilité de rejeter $H_0$ lorsque $H_0$ est fausse.
• Puissance $= 1 - \beta$

Résumé du test d'hypothèse

1. Énoncer les hypothèses nulles et alternatives.
2. Choisir un niveau de signification $\alpha$.
3. Calculer la valeur de la statistique de test.
4. Déterminer la zone de rejet.
5. Prendre une décision.

• Si la statistique de test se situe dans la zone de rejet, rejeter $H_0$.
• Sinon, ne pas rejeter $H_0$.

Ou

1. Énoncer les hypothèses nulles et alternatives.
2. Choisir un niveau de signification $\alpha$.
3. Calculer la valeur P.
4. Prendre une décision.

• Si la valeur P $\leq \alpha$, rejeter $H_0$.
• Si la valeur P $> \alpha$, ne pas rejeter $H_0$.

Max Weber

Économie et société

• Aperçu de la sociologie compréhensive

Édition

• José Luis Etcheverry

Section Première: Concepts sociologiques fondamentaux

Chapitre I: Concepts sociologiques fondamentaux

1. La sociologie. Le sens pris ici par "sociologie" est celui d'une science qui prétend comprendre, en l'interprétant, l'action sociale afin de l'expliquer causalement dans son développement et ses effets. Il faut entendre par "action" une conduite humaine (ainsi un faire externe ou interne, un omettre ou un permettre) lorsque et dans la mesure où le ou les agents la mettent en lien avec un sens subjectif. L'"action sociale", par conséquent, est une action où le sens visé par son sujet ou ses sujets se réfère à la conduite d'autres, s'orientant par cette dernière dans son développement.
2. Sens. Le sens peut être de deux sortes :

• a) Sens de fait subjectivement visé.
• b) Sens "objectivement valable" (deux différences) :
• 1. En tant que terme moyen habituel ou approximatif.
• 2. En tant que sens "correct" métaphysiquement.

3. Compréhension. Différentes sortes :

• a) Compréhension actuelle :
• 1. Compréhension rationnelle actuelle du sens d'une proposition (ex : 2 x 2 = 4).
• 2. Compréhension irrationnelle actuelle d'une connexion affective (ex : explosion de colère).
• b) Compréhension explicative :
• Compréhension du motif d'une action.

4. Action rationnelle. L'action rationnelle peut être :

• a) Avec ajustement aux fins : L'agent oriente son action par la fin, les moyens et les conséquences.
• b) Avec ajustement aux valeurs : L'agent oriente son action par la croyance consciente dans la valeur, propre et absolue, d'une conduite déterminée en tant que telle.

5. Types d'action sociale.

• a) Rationnelle avec ajustement aux fins : Déterminée par les attentes dans le comportement, tant des objets du monde extérieur que des autres hommes. Utilisées comme "conditions" ou "moyens" pour la réalisation de fins propres, rationnellement soupesées et poursuivies.
• b) Rationnelle avec ajustement aux valeurs : Déterminée par la croyance consciente dans la valeur -éthique, esthétique, religieuse ou interprétée de toute autre façon- propre et absolue d'une conduite déterminée en tant que telle, sans aucune relation avec le résultat.
• c) Affective : Déterminée par les affects et les états sentimentaux actuels.
• d) Traditionnelle : Déterminée par une coutume enracinée.

6. Relation sociale. Par "relation sociale", il faut entendre une conduite plurielle qui, par le sens qu'elle contient, se présente comme réciproquement référée et s'oriente par cette réciprocité. La relation sociale peut être :

• a) Purement transitoire.

• b) Impliquer une permanence.

  Le contenu de sens d'une relation sociale peut varier :

• a) Totalement ou partiellement.

• b) Être déclaré par accord ou imposition.

• c) Ainsi, une relation sociale peut s'orienter :

• Par l'attente d'une conduite déterminée d'autres.

• Par la probabilité qu'une action soit socialement possible.

7. Usage. Par "usage", il faut entendre la probabilité d'une régularité dans la conduite, lorsque et dans la mesure où cette probabilité, au sein d'un cercle d'hommes, est due à l'habitude.
8. Coutume. Par "coutume", il faut entendre un "usage" ancré dans un long exercice.
9. Situation d'intérêts. Par "situation d'intérêts", il faut entendre la probabilité qu'une forme de conduite sociale, de fait ou attendue, s'oriente par l'intérêt des participants à des avantages ou des désavantages déterminés.
10. Ordre légitime. La validité d'un ordre peut être garantie :

• a) Par la tradition : validité de ce qui a toujours été.
• b) Par l'affectivité : validité d'un abandon sentimental.
• c) Par la croyance rationnelle avec ajustement aux valeurs : validité de ce qui est considéré comme absolument précieux.
• d) Par le statut : validité de ce qui a été établi d'une manière considérée comme compétente et selon une procédure appropriée.

11. Convention. Par "convention", il faut entendre un ordre qui repose sur le fait que l'improbation de son infraction est garantie par la désapprobation générale au sein d'un cercle déterminé d'hommes.
12. Droit. Par "droit", il faut entendre un ordre lorsqu'il est garanti extérieurement par la probabilité que, en cas d'infraction, il existe une coercition (physique ou psychique) exercée par un cadre d'individus institués avec la mission d'obliger à l'observance de cet ordre ou de punir sa transgression.
13. Association. Par "association", il faut entendre une relation sociale lorsque et dans la mesure où l'attitude sur laquelle se fonde la probabilité de sa continuité est due à l'existence d'un ordre.
14. Association politique. Il faut parler d'"association politique" lorsque et dans la mesure où son existence et la validité de ses ordonnances sont garanties de manière continue au sein d'un territoire géographique déterminé par l'application et la menace de la force physique par son cadre administratif.
15. Association hiérocratique. Par "association hiérocratique", il faut entendre une association de domination lorsque et dans la mesure où elle applique, pour la garantie de son ordre, en plus de la force physique, des biens de salut.
16. Entreprise. Par "entreprise", il faut entendre une action sociale de caractère économique qui repose sur une organisation orientée en permanence vers une fin.
17. Institut. Par "institut", il faut entendre une association, si et dans la mesure où, conformément au sens typique de son ordonnancement administratif, elle doit valoir comme association orientée en permanence vers la poursuite de fins déterminées qui sont susceptibles d'être imposées.

Chapitre II: Types d'action sociale

1. Action sociale. L'action sociale, comme toute action, peut être orientée :

• a) Par l'attente d'une conduite déterminée d'objets extérieurs et d'autres hommes.
• b) En tant qu'action rationnelle avec ajustement aux fins.
• c) En tant qu'action rationnelle avec ajustement aux valeurs.
• d) Affectivement.
• e) Traditionnellement.

2. Communauté. Une relation sociale doit être appelée "communauté" lorsque et dans la mesure où l'attitude dans l'action sociale - dans les cas singuliers en moyenne ou dans le type pur - s'inspire du sentiment subjectif (affectif ou traditionnel) des participants de constituer un "tout".
3. Société. Une relation sociale doit être appelée "société" lorsque et dans la mesure où l'attitude dans l'action sociale s'inspire d'une convivialité ou d'une compensation d'intérêts rationnels (avec ajustement aux fins ou aux valeurs).
4. Lutte. Il faut parler de "lutte" lorsque l'action s'oriente par le propos d'imposer sa propre volonté contre la résistance d'un ou de plusieurs autres individus.
5. Sélection. La "sélection" est pour Weber une forme de lutte.
6. Relation sociale ouverte et fermée. Une relation sociale doit être considérée comme ouverte vers l'extérieur lorsque et dans la mesure où la participation à l'action sociale réciproque qui la constitue est à la portée de quiconque. Une relation sociale doit être considérée, en revanche, comme fermée lorsque et dans la mesure où, selon son sens, la participation à celle-ci est refusée, limitée ou soumise à des conditions déterminées.
7. Usurpation. Par "usurpation", il faut entendre l'appropriation illégitime (en entendant ici par "illégitime" celle considérée comme telle par ceux qui prétendent faire valoir la légitimité d'un ordre quelconque) de probabilités de domination ou d'usufruit.
8. Organisation. Une relation sociale fermée sera appelée "organisation" lorsque et dans la mesure où, dans celle-ci, régit un cadre administratif dont les membres sont spécifiquement chargés - surtout ou en partie - de l'exécution des ordonnances qui, avec un caractère contraignant pour les membres de l'organisation, sont dirigées vers la poursuite des fins de cette dernière.

Chapitre III: Types de domination

1. Domination. "Domination" doit s'entendre comme la probabilité de rencontrer obéissance à un ordre déterminé parmi des personnes données.
2. Cadre administratif. Par "cadre administratif", il faut comprendre un ensemble de personnes spécialement intéressées par le maintien de l'ordre domanial.
3. Types de domination. Trois types purs de domination légitime :

• a) De caractère rationnel : qui repose sur la croyance en la légalité d'ordonnances instituées et dans le droit de commandement de ceux qui sont appelés par ces ordonnances à exercer l'autorité (domination légale).
• b) De caractère traditionnel : qui repose sur la croyance quotidienne en la sainteté des traditions qui ont régi depuis toujours et dans la légitimité de ceux qui sont désignés par la tradition pour exercer l'autorité (domination traditionnelle).
• c) De caractère charismatique : qui repose sur l'abandon extraquotidien à la sainteté, à l'héroïsme ou à l'exemplarité d'une personne et aux ordonnances créées ou révélées par celle-ci (domination charismatique).

4. Domination légale avec cadre administratif bureaucratique. Les principes typiques de la domination légale sont :

• a) Que l'on n'obéit qu'à l'ordonnancement impersonnel objectif.
• b) Que chacun qui agit à l'intérieur de celle-ci n'obéit qu'en tant que membre de l'association et seulement "au Droit".
• c) Que même celui qui commande obéit, de son côté, à l'ordonnancement en exerçant le pouvoir de commandement.

5. Domination traditionnelle. La domination traditionnelle se fonde sur la croyance en la sainteté des traditions immémoriales et dans la légitimité de ceux qui sont appelés à exercer l'autorité en vertu de la tradition. Le "seigneur" traditionnel doit :

• a) Être lié à la tradition.

• b) S'y soumettre.

  Cependant, son pouvoir de commandement est "libre", dans la mesure où :

• a) Il est libéré des obligations rationnelles avec ajustement aux fins.

• b) Il est libéré des obligations impersonnelles.

6. Domination charismatique. "Charisme" doit s'entendre comme une qualité que l'on répute comme extraordinaire d'une personnalité, par laquelle on considère qu'elle est en possession de forces surnaturelles ou surhumaines ou, au moins, spécifiquement extra quotidiens et non accessibles à tout autre ; ou comme envoyées par Dieu ou comme exemplaires et, sur la base de celles-ci, l'individu en question comme chef, caudillo, guide ou leader. La reconnaissance née de l'abandon à la "révélation" ou à la "création", à la "vertu héroïque" ou au "pouvoir mental" charismatiques est ce qui fonde la légitimité de celui-ci.

   Deux possibilités de comprendre le carisme :

• a) D'un point de vue valorisateur.
• b) D'un point de vue neutre.

Schéma

Concepts sociologiques fondamentaux (Chap. I)

• Sociologie
• Sens
• Compréhension
• Action rationnelle
• Types d'action sociale
• Relation sociale
• Usage
• Coutume
• Situation d'intérêts
• Ordre légitime
• Convention
• Droit
• Association
• Association politique
• Association hiérocratique
• Entreprise
• Institut

Types d'Action Sociale (Chap. II)

• Action sociale
• Communauté
• Société
• Lutte
• Sélection
• Relation sociale ouverte et fermée
• Usurpation
• Organisation

Types de Domination (Chap. III)

• Domination
• Cadre administratif
• Types de domination
• Domination légale avec cadre administratif bureaucratique
• Domination traditionnelle
• Domination charismatique

Matrices

Définition

Une matrice $A_{m \times n}$ est un tableau de $m \cdot n$ éléments disposés en $m$ lignes et $n$ colonnes.

$A_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$

Où $a_{ij}$ représente l'élément situé à la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne de la matrice A.

Types de Matrices

• Matrice Carrée: Nombre de lignes égal au nombre de colonnes ($m = n$).
• Matrice Ligne: Possède une seule ligne ($m = 1$).
• Matrice Colonne: Possède une seule colonne ($n = 1$).
• Matrice Nulle: Tous les éléments sont égaux à zéro.
• Matrice Identité: Matrice carrée où tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et les autres sont égaux à 0.

$I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 1 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}$

• Matrice Transposée: Matrice obtenue en échangeant les lignes par les colonnes d'une matrice A. Représentée par $A^T$.

Opérations avec des Matrices

• Addition et Soustraction: Réalisées élément par élément entre des matrices de même dimension.
• Multiplication par un Scalaire: Multiplie chaque élément de la matrice par le scalaire.
• Multiplication de Matrices: Le produit de deux matrices $A_{m \times n}$ et $B_{n \times p}$ est une matrice $C_{m \times p}$, où chaque élément $c_{ij}$ est obtenu par la somme des produits des éléments de la i-ème ligne de A par les éléments de la j-ème colonne de B.

$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$

Déterminant

Le déterminant est une fonction qui associe un scalaire à une matrice carrée.

• Ordre 2: $\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
• Ordre 3: (Règle de Sarrus)

$\det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

Propriétés des Déterminants

• Si A possède une ligne ou une colonne de zéros, alors det(A) = 0.
• Si A possède deux lignes ou colonnes égales, alors det(A) = 0.
• det(A) = det($A^T$).
• Si A est multipliée par un scalaire k, alors le déterminant est multiplié par $k^n$, où n est l'ordre de la matrice.
• det(AB) = det(A) * det(B).

Inverse d'une Matrice

Une matrice A est inversible s'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$, où I est la matrice identité.

• Calcul: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot adj(A)$, où adj(A) est la matrice adjointe de A.
• Condition d'Existence: Une matrice A possède une inverse si, et seulement si, det(A) != 0.

Roger Hamam

Expérience académique

• Doctorat en statistique, Université Harvard
• Maîtrise en statistique, Université Stanford
• Baccalauréat en mathématiques, Caltech

Expérience professionnelle

• Responsable du trading algorithmique, Jane Street Capital (2015-présent)
• A dirigé une équipe de 20 chercheurs quantitatifs et ingénieurs logiciels.
• A développé et mis en œuvre des stratégies de trading à haute fréquence.
• A géré un portefeuille de 500 millions de dollars d'actifs.
• Chercheur quantitatif, Renaissance Technologies (2010-2015)
• A développé et testé des modèles statistiques pour le trading.
• A recherché de nouvelles sources de données et des signaux de trading.

Compétences

• Langages de programmation: Python, C++, R
• Modélisation statistique: Analyse de séries temporelles, Analyse de régression, Apprentissage automatique
• Plateformes de trading: Bloomberg, Reuters, Fidessa
• Analyse de données: SQL, Pandas, NumPy

Publications de recherche

• Hamam, R. "Une approche bayésienne du trading à haute fréquence." Journal of Financial Economics, 2018.
• Hamam, R., et A. Lo. "L'impact du sentiment des nouvelles sur les cours des actions." Management Science, 2015.

Prix et distinctions

• Prix Wagner d'INFORMS, 2018
• Bourse d'études supérieures de la NSF, 2007-2010

Contact

• Courriel : [email protected]
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