Последняя цифра при умножении и возведении в степень

Последняя цифра при умножении

• Определение: Последняя цифра произведения двух чисел определяется по последним цифрам этих чисел.
• Пример: Для 27 и 34, последние цифры – 7 и 4.
  • Произведение последних цифр: 7 × 4 = 28 (последняя цифра – 8).
• Общее правило: Чтобы найти последнюю цифру произведения, умножаем последние цифры множителей, а результат берем по модулю 10.

Последняя цифра возведения в степень

• Циклы последних цифр: Последняя цифра чисел в степенях часто образует циклы.

  • Например, последние цифры оснований:
    • 0: всегда 0
    • 1: всегда 1
    • 2: 2, 4, 8, 6 (цикл из 4)
    • 3: 3, 9, 7, 1 (цикл из 4)
    • 4: 4, 6 (цикл из 2)
    • 5: всегда 5
    • 6: всегда 6
    • 7: 7, 9, 3, 1 (цикл из 4)
    • 8: 8, 4, 2, 6 (цикл из 4)
    • 9: 9, 1 (цикл из 2)

• Определение последней цифры степени:

  1. Найти последнюю цифру основания.
  2. Определить длину цикла для этой цифры.
  3. Использовать показатель степени, чтобы выяснить позицию: степень mod длина цикла.
  4. Выбрать соответствующую цифру из цикла.

• Пример: Найти последнюю цифру (7^4):

  • Последняя цифра 7, цикл: 7, 9, 3, 1 (длина 4).
  • (4 \mod 4 = 0) → используем последнюю цифру из цикла (1).

Этот процесс позволяет находить конечные цифры при операциях умножения и возведения в степень эффективно.

Letzte Ziffer bei der Multiplikation

• Die letzte Ziffer des Produkts zweier Zahlen wird durch die letzten Ziffern dieser Zahlen bestimmt.
• Beispielsweise sind die letzten Ziffern von 27 und 34 - 7 und 4.
• Das Produkt der letzten Ziffern: 7 × 4 = 28 (die letzte Ziffer ist 8).
• Allgemeine Regel: Um die letzte Ziffer eines Produkts zu finden, multiplizieren wir die letzten Ziffern der Faktoren und nehmen das Ergebnis modulo 10.

Letzte Ziffer bei der Potenzierung

• Die letzten Ziffern von Zahlen in Potenzen bilden oft Zyklen.
• Beispielsweise weisen die letzten Ziffern der Basen folgende Zyklen auf:
  • 0: immer 0
  • 1: immer 1
  • 2: 2, 4, 8, 6 (Zyklus der Länge 4)
  • 3: 3, 9, 7, 1 (Zyklus der Länge 4)
  • 4: 4, 6 (Zyklus der Länge 2)
  • 5: immer 5
  • 6: immer 6
  • 7: 7, 9, 3, 1 (Zyklus der Länge 4)
  • 8: 8, 4, 2, 6 (Zyklus der Länge 4)
  • 9: 9, 1 (Zyklus der Länge 2)
  • Um die letzte Ziffer einer Potenz zu bestimmen, gehen wir folgendermaßen vor:
    • Die letzte Ziffer des Basises wird gefunden.
    • Die Länge des Zyklus für diese Ziffer wird bestimmt.
    • Der Exponent wird verwendet, um die Position herauszufinden: Exponent mod Länge des Zyklus.
    • Die entsprechende Ziffer aus dem Zyklus wird ausgewählt.
• Beispiel: Um die letzte Ziffer von (7^4) zu finden:
  • Die letzte Ziffer ist 7, der Zyklus: 7, 9, 3, 1 (Länge 4).
  • (4 \mod 4 = 0) → wir verwenden die letzte Ziffer aus dem Zyklus (1).
• Dieser Prozess ermöglicht es, die letzten Ziffern bei Multiplikations- und Potenzierungsberechnungen effizient zu finden.

Этот тест касается определения последней цифры произведения и степени чисел. Вы изучите, как последние цифры влияют на произведение и как они образуют циклы в степенях. Примените свои знания для решения практических задач.