Questions and Answers
Qu'est-ce qu'un polynôme du troisième degré?
Une expression de la forme P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d où a, b, c, et d sont des coefficients réels avec a ≠ 0.
La forme factorisée d'un polynôme du troisième degré ayant trois racines réelles est P(x) = a(x - ______)(x - ______)(x - ______).
x_1, x_2, x_3
Quelles méthodes peut-on utiliser pour calculer les racines d'un polynôme du troisième degré?
Tous les polynômes du troisième degré ont trois racines réelles.
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Que signifie l'étude du signe de P(x)?
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Quel est le comportement graphique d'un polynôme du troisième degré avec une racine triple?
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Quelle est la première étape pour résoudre un polynôme cubique par la méthode de factorisation?
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Les racines de P(x) = 0 pour le polynôme P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 sont ______, ______ et ______.
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Quel est le résultat de P(1) pour le polynôme P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6?
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Study Notes
Définition d'un polynôme du troisième degré
- Un polynôme de degré 3 s'exprime sous la forme ( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ) avec ( a \neq 0 ).
- Ce type de polynôme peut avoir jusqu'à trois racines réelles et sa représentation graphique est une courbe cubique.
Forme factorisée
- Lorsque ( P(x) ) possède trois racines réelles ( x_1, x_2, et x_3 ), il peut être factorisé comme ( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) ).
- Une racine double est représentée par ( P(x) = a(x - x_1)^2(x - x_3) ) et une racine triple par des notations similaires.
Calcul des racines
- Aucune formule simple n'existe pour résoudre directement un polynôme cubique.
- Méthode de factorisation : Trouver une racine évidente par inspection et réduire le polynôme à un degré 2 par division.
- Méthode de Cardan : Technique algébrique complexe permettant de résoudre les équations cubiques, souvent non enseignée au lycée.
Étude du signe
- Évaluer les intervalles où ( P(x) ) est positif ou négatif est crucial pour résoudre les inéquations de degré 3.
- Identifier les racines de ( P(x) ) et analyser le comportement du polynôme entre ces racines.
Comportement graphique
- Trois racines réelles distinctes : La courbe coupe l'axe des abscisses trois fois.
- Une racine double et une racine simple : La courbe touche l'axe en un point (racine double) et le coupe en un autre.
- Une racine triple : La courbe a un point d'inflexion à la racine triple, sans couper l'axe des abscisses.
Exemple illustratif
- Pour ( P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 ), ( x = 1 ) est une racine évidente.
- Après division par ( (x - 1) ), on obtient ( P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) ).
- Résoudre l'équation quadratique donne les racines ( x_2 = 2 ) et ( x_3 = 3 ).
- Finalement, la forme factorisée est ( P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) ).
Exercices
- Factoriser les polynômes ( P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 ), ( P(x) = 2x^3 - 8x^2 + 6x - 24 ), et ( P(x) = x^3 - 7x + 6 ).
- Étudier le signe des polynômes ( P(x) = x^3 - 9x + 8 ) et ( P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 2 ).
- Les exercices visent à renforcer la compréhension des polynômes cubiques et leur manipulation.
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Description
Ce quiz examine les polynômes du troisième degré, également connus sous le nom de polynômes cubiques. Découvrez leur définition, leurs caractéristiques et le nombre de solutions réelles qu'ils peuvent avoir. Testez vos connaissances sur les fonctions polynomiales de degré 3.
