Physics: Vector Addition

Física

Vectores

• Vector components are described.
• Vectors can be represented as $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$ with $A_x = A\cos(\theta)$ and $A_y = A\sin(\theta)$.
• Resultant vector $\vec{R}$ from adding vectors $\vec{A}$ and $\vec{B}$ is given by $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j}$.
• $R_X = A_X + B_X$ and $R_Y = A_Y + B_Y$.
• The magnitude of the resultant vector, $R$, is $\sqrt{R_X^2 + R_Y^2}$.
• The angle $\θ$ of the resultant vector is $\arctan(\frac{R_Y}{R_X})$.

Vector Summation - Example

• Vector $\vec{A} = 20u \measuredangle 60°$ and $\vec{B} = 30u \measuredangle 30°$ are two vectors being summed.
• $A_x = 20\cos(60°) = 10u$, $A_y = 20\sin(60°) = 17.32u$, $B_x = 30\cos(30°) = 25.98u$, and $B_y = 30\sin(30°) = 15u$.
• $R_x = 10u + 25.98u = 35.98u$ and $R_y = 17.32u + 15u = 32.32u$.
• The magnitude of the resultant vector, $R = \sqrt{(35.98u)^2 + (32.32u)^2} = 48.42u$.
• The angle of the resultant vector, $θ = \arctan(\frac{32.32u}{35.98u}) = 42.2°$.

Chemical Engineering Thermodynamics

Vapor-Liquid Equilibrium (VLE) - Basic Concepts

• For pure species, vapor pressure $P^{sat}$ depends only on temperature.
• For mixtures, phase diagrams are more complex.
• Bubble Point: Saturated liquid state where first vapor bubble appears.
• Dew Point: Saturated vapor state where first liquid drop appears.

T-x-y Diagram

• Saturated liquid line is the bubble-point curve.
• Saturated vapor line is the dew-point curve.
• The liquid region is below the bubble-point curve.
• The vapor region is above the dew-point curve.
• The two-phase region lies between the bubble-point and dew-point curves.
• Where $x_i$ is the mole fraction of component $i$ in the liquid phase, $y_i$ is the mole fraction of component $i$ in the vapor phase, and $T$ is the temperature.

P-x-y Diagram

• The saturated liquid line is the bubble-point curve.
• Saturated vapor line is the dew-point curve.
• Liquid region is above the bubble-point curve.
• Vapor region is below the dew-point curve.
• Two-phase region is between the bubble-point and dew-point curves.
• Where $x_i$ is the mole fraction of component $i$ in the liquid phase, $y_i$ is the mole fraction of component $i$ in the vapor phase, and $P$ is the pressure.

Phase Rule

• The phase rule is $F = 2 - \pi + N$.
• Where $F$ is degrees of freedom, $\pi$ is the number of phases, and $N$ is the number of components.
• Pure species, single phase: $F = 2 - 1 + 1 = 2$ (T and P can be independently varied).
• Pure species, two phases in equilibrium: $F = 2 - 2 + 1 = 1$ (T or P can be chosen, but not both).
• Binary mixture, single phase: $F = 2 - 1 + 2 = 3$ (T, P, and composition can be independently varied).
• Binary mixture, two phases in equilibrium: $F = 2 - 2 + 2 = 2$ (T and P can be chosen, composition is then fixed).

Flash Calculation

• The flash calculation is: Given overall composition ${z_i}$, $T$, and $P$.
• Find ${x_i}$, ${y_i}$, $V$ (vapor fraction).
• The equilibrium Relation: $y_i = K_i x_i$.
• Material Balance: $z_i = V y_i + L x_i$ where $L$ is the liquid fraction and $V+L = 1$.
• Combining: $z_i = V K_i x_i + (1-V)x_i$.
• Solving for $x_i$: $x_i = \frac{z_i}{V K_i + (1-V)}$.
• Summation Constraint: $\sum{x_i} = 1.0$.
• Rachford-Rice equation: $\sum{\frac{z_i (K_i - 1)}{1 + V(K_i - 1)}} = 0$.
• It is solved for $V$ (e.g., using Newton's method), then calculate $x_i$ and $y_i = K_i x_i$.

VLE from Equations of State

• Equation of state (e.g., Peng-Robinson) calculates fugacity coefficients for each component in liquid and vapor phases.
• Equilibrium criteria: $\hat{f}{i}^{L} = \hat{f}{i}^{V}$.
• $\hat{\phi}{i}^{L} x_i P = \hat{\phi}{i}^{V} y_i P$.
• $y_i = \frac{\hat{\phi}{i}^{L}}{\hat{\phi}{i}^{V}} x_i = K_i x_i$.
• $\hat{\phi}{i}^{L}$ and $\hat{\phi}{i}^{V}$ are the fugacity coefficients of component $i$ in the liquid and vapor phases.

Chemistry 12 Provincial Exam Booklet - Released June 2023

Exam Structure

• Multiple Choice: 60 marks.
• Written Response: 20 marks.
• Total: 80 marks.

General Instructions

• Personal Education Number (PEN) should be correctly entered
• Multiple-choice answer sheets must be received within 1 hour and 30 minutes.
• Written Response section must be receieved by the supervisor in 2 hours from start of the exam.

Multiple Choice Instructions

• Answer only one choice per question
• If you wish to change answer, erase your first answer completely
• There are 30 multiple choice questions on this particular examination

Written Response Instructions

• Answer all questions in the space provided
• Calculations should be clearly shown
• Use blue or black ink

Chemical Kinetics

Fundamentals of Chemical Kinetics

• Chemical kinetics (reaction kinetics): study of reaction rates.
• Explores how reaction conditions affect reaction speed & elucidates reaction mechanisms.

Reaction Rate

• The reaction rate is the change in the concentration of reactants or products per unit time.
• For a reaction $aA + bB \rightarrow cC + dD$, the reaction rate can be expressed as $v = -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}$.
• The rate is positive and considers the stoichiometric coefficients.
• Higher concentrations usually lead to faster reaction rates.
• Higher temperatures usually lead to faster reaction rates.
• For reactions involving solids, a larger surface area leads to a faster reaction rate.
• Catalysts speed up reactions without being consumed.
• For reactions involving gases, higher pressure usually leads to faster reaction rates.
• Some reactions are accelerated by light (photochemical reactions).

Rate Law

• Rate LawDefinition: Equation that relates the reaction rate to reactant concentrations.
• For a reaction $aA + bB \rightarrow cC + dD$, the rate law can be expressed as $v = k[A]^m[B]^n$
• Where $k$ is the rate constant, $m$ and $n$ are reaction orders with respect to reactants A and B, and the overall reaction order is $m + n$.
• Reaction orders ($m$ and $n$) are experimentally determined, not related to stoichiometric coefficients ($a$ and $b$).
• The rate constant $k$ depends on temperature.
• Zero-Order Rate Law: $v = k$.
• First-Order Rate Law: $v = k[A]$.
• Second-Order Rate Law: $v = k[A]^2$ or $v = k[A][B]$.

Reaction Order

• Definition: Power to which the concentration of a reactant is raised in a rate law.
• Determination: Determined experimentally.
• Initial Rates Method: Measure initial reaction rate for different initial reactant concentrations.
• Graphical Method: Plot reactant concentration vs. time, determine order from the curve’s shape.
• Integrated Rate Law Method: Use integrated rate law to determine the order.
• Integrated rate laws relate the concentration of a reactant to time.
• Zero-Order: $[A] = [A]_0 - kt$.
• First-Order: $ln[A] = ln[A]_0 - kt$.
• Second-Order: $\frac{1}{[A]} = \frac{1}{[A]_0} + kt$.
• $[A]$: Concentration of reactant A at time $t$.
• $[A]_0$: Initial concentration of reactant A.
• $k$: Rate constant.
• Half-Life: Time required for reactant concentration to decrease to one-half its initial value ($t_{1/2}$).
• Zero-Order: $t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$.
• First-Order: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$.
• Second-Order: $t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$.

Reaction Mechanism

• Definition: Sequence of elementary steps that make up a complex reaction.
• Elementary Step: A reaction that occurs in a single step.
• Rate-Determining Step: The slowest step in the reaction mechanism determining the overall rate.
• Catalyst: Speeds up a reaction without being consumed.
• Homogeneous Catalysis: The catalyst is in the same phase as the reactants.
• Heterogeneous Catalysis: The catalyst is in a different phase from the reactants.
• Enzyme Catalysis: Enzymes are biological catalysts that speed up biochemical reactions.

Collision Theory

• Reactant molecules need to collide with each other to react.
• Reactant molecules must collide with the correct orientation to react.
• Reactant molecules need to collide with enough energy (activation energy).
• Activation Energy ($E_a$): Minimum energy required for a reaction.
• Arrhenius Equation: $k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$.
• $k$ is the rate constant, $A$ is the pre-exponential factor, $E_a$ is the activation energy, $R$ is the gas constant, & $T$ is temperature in Kelvin.

Arrhenius Equation

• The Arrhenius equation is useful for understanding the temperature dependence of reaction rates.
• It is useful for determining the activation energy of a reaction.

Algoritmos de Ordenamiento

Definición de Algoritmo de Ordenamiento

• Algoritmo de ordenamiento: método para reorganizar un conjunto de datos en una secuencia específica.
• La secuencia se determina mediante una relación de orden (numérica, alfabética, o compleja).

Importancia de los Algoritmos de Ordenamiento

• Facilits la búsqueda y el acceso a los datos.
• Optimización de otros algoritmos
• Fundamentos de la informática

Clasificación de Algoritmos de Ordenamiento

• Según el uso de memoria:
• In situ: No requieren memoria adicional (o una cantidad insignificante).
• No in situ: Requieren memoria adicional para realizar el ordenamiento.
• Según la estabilidad:
• Estables: Mantienen el orden relativo de los elementos con claves iguales.
• Inestables: No garantizan la conservación del orden relativo.
• Según la complejidad:
• Temporal: Mide el tiempo que tarda el algoritmo en función del tamaño de la entrada (mejor caso, caso promedio, peor caso).
• Espacial: Mide la cantidad de memoria que utiliza el algoritmo.

Algoritmos de Ordenamiento Comunes: Resumen de Características

Bubble Sort/Ordenamiento de Burbuja – Funcionamiento

• Compara pares adyacentes, intercambia si están en incorrecto orden.
• Repite hasta que no se necesiten intercambios.
• Ventaja: Fácil de implementar.
• Desventaja: Ineficiente para grandes conjuntos de datos.

Selection Sort/Ordenamiento de Selección – Funcionamiento

• Encuentra el mínimo en el conjunto de datos, intercambia con el prim. elemento.
• Busca el siguiente mínimo, intercambia con el segundo, repite.
• Ventaja: Simple de entender.
• Desventaja: Ineficiente para grandes conjuntos de datos.

Insertion Sort/Ordenamiento de Inserción – Funcionamiento

• Construye una secuencia ordenada, un elem. a la vez, insertando en la posición correcta.
• Ventaja: Eficiente para conjuntos de datos pequeños o casi ordenados.
• Desventaja: Ineficiente para grandes conjuntos de datos.

Merge Sort/Ordenamiento por Mezcla – Funcionamiento

• Divide en subconjuntos más pequeños, ordena cada uno, luego mezcla los subconjuntos.
• Ventaja: Eficiente para grandes conjuntos de datos.
• Desventaja: Requiere memoria adicional.

Quick Sort/Ordenamiento Rápido – Funcionamiento

• Selecciona un “pivote”, divide en subconjuntos: menores y mayores al pivote. Recursivamente ordena.
• Ventaja: Muy eficiente en la práctica.
• Desventaja: Puede rendir pobremente en el peor de los casos.

Heap Sort/Ordenamiento por Montículos – Funcionamiento

• Construye un montículo, extrae repetidamente el elemento máximo.
• Ventajas: Eficiente; buen desempeño en el peor caso.
• Desventajas: Más complejo de implementar.

Consideraciones Adicionales

• La elección del algoritmo depende de los datos y los requisitos.
• Para conjuntos de datos muy grandes, los algoritmos de ordenamiento con complejidad $O(n \log n)$ son la mejor opción.
• Para conjuntos de datos pequeños o casi ordenados, los algoritmos de ordenamiento como Insertion Sort son la buena opción debido a su simplicidad y eficiencia.
• Es importante comprender las características de cada algoritmo para tomar la decisión correcta en cada situación.

Lecture 15: October 26, 2023 - Review & Repeated Games

Problem 1: Strategic Interaction Model Review

• $N$ countries $i = 1, \dots, N$.
• Each country chooses emissions level $e_i \geq 0$. Aggregate emissions: $E = \sum_{i=1}^N e_i$. Payoffs: $\pi_i(e_i, E) = \underbrace{a e_i}{\text{Benefit from pollution}} - \underbrace{b E^2}{\text{Damage from pollution}}$. $a, b > 0$.

(a) Nash Equilibrium

• FOC: $\frac{\partial \pi_i}{\partial e_i} = a - 2bE = 0$. Nash equilibrium condition: $a - 2bE = 0$ for all $i$, thus $E^* = \frac{a}{2b}$.
• Equilibrium requires countries to take the same action, thus $e_i = e_j$ for all $i, j$, so $E = N e_i = \frac{a}{2b}$. Nash equilibrium for each country is $e_i^* = \frac{a}{2bN}$.

(b) Aggregate Payoff Maximization

• Maximize $\sum_{i=1}^N \pi_i(e_i, E)$:
• $\sum_{i=1}^N \pi_i(e_i, E) = \sum_{i=1}^N (ae_i - bE^2) = aE - NbE^2$. Then FOC: $a - 2NbE = 0$, so $E^{} = \frac{a}{2Nb}$ and $e_i^{} = \frac{a}{2N^2b}$.

(c) Treaty Scenario

• $N=2$, countries sign self-enforcing treaty (Nash equilibrium).
• Symmetric treaty ($e_1 = e_2 = e$) maximizes aggregate welfare.
• $\max_e 2(ae - b(2e)^2)$. FOC: $2(a - 4b(2e)) = 0$, so $e = \frac{a}{8b}$.
• Check self-enforcement: If country $i$ chooses $e = \frac{a}{8b}$, what is country $j$'s best response?
• $\max_{e_j} a e_j - b (e_j + \frac{a}{8b})^2$. FOC: $a - 2b (e_j + \frac{a}{8b}) = 0$, so $e_j = \frac{a}{4b} - \frac{a}{8b} = \frac{a}{8b}$. Thus the treaty is a Nash equilibrium.

Repeated Games and Cooperation

• Prisoner's dilemma:

  	Cooperate	Defect
  Cooperate	3, 3	0, 4
  Defect	4, 0	$\color{red}{1, 1}$

  Unique Nash equilibrium: (Defect, Defect).

• Repeating the game $T$ times causes both players will defect in every period due to backwards induction.

• Strategies for Infinitely Repeated Games

• Grim Trigger: Player 1 In the 1st period, cooperate, in every subsequent period, do what your opponent did in the previous period.

• Cooperation is a Nash equilibrium if the discount factor $\delta \geq \frac{1}{3}$ if defect and if $ \frac{3}{1-\delta} \geq 4 + \frac{\delta}{1-\delta} 1$ if cooperate

• Folk Theorem: Any individually rational payoff can be supported as a Nash equilibrium in infinitely repeated games if players are sufficiently patient.

• Strategies:

• Grim Trigger(Cooperate until someone defects the defect forever)

• Tit - for - tat:Copy what your opponents did in the previous period

• Strategies for Infinitely Repeated Games

• Axelrod Tournament Results

• Top Score: Tit - for - tat:Copy what your opponents did in the previous period

UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Introducción (Ecuaciones Diferenciales de Primero Orden)

Definición

• Ecuación Diferencial: Ecuación que relaciona una función con sus derivadas.
• EDO: Ecuación Diferencial Ordinaria. Ecuación diferencial que involucra derivadas con respecto a una sola variable independiente.

Clasificación

• Ecuaciones Diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.

Tipo

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): Contienen derivadas de una función con respecto a una sola variable independiente.
• Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): Contienen derivadas parciales de una función con respecto a dos o más variables independientes.

Orden

• El orden de una Ecuación Diferencial, es el orden de la derivada más alta en la ecuación.
• Por ejemplo:
• $\qquad \frac{dy}{dx} + y = x$ (Primer orden)
• $\qquad \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + y = 0$ (Segundo orden)

Linealidad

• Una ecuación diferencial es lineal si:
  1. La variable dependiente y sus derivadas son de primer grado.
  2. Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente.
• Por ejemplo:
• Ecuación lineal: $\qquad \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
• Ecuación no lineal: $\qquad \frac{dy}{dx} + y^2 = x$

Solución de una EDO

• Solución de una EDO: Una función que, al sustituirse en la ecuación, la reduce a una identidad.
• Solución general: Contiene constantes arbitrarias y representa una familia de soluciones.
• Solución particular: Se obtiene al asignar valores específicos a las constantes en la solución general, a traves de condiciones iniciales o de frontera.

Problema de Valor Inicial (PVI)

• PVI: Ecuación diferencial junto con una condición inicial que especifica el valor de la función en un punto dado.
• La solución del PVI es la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial.

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

• Ecuaciones Separables
• Una Ecuación Diferencial de Primer Orden es separable, si se puede escribir en la forma: $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$.
• Para resolver una ecuación separable, se separan las variables y se integran ambos lados.

Ecuaciones Homogéneas

• Una función es homogénea de grado $n$ si: $f(tx, ty) = t^n f(x, y)$.
• Una Ecuación Diferencial de la forma $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$, es homogénea si $f(x, y)$ es una función homogénea de grado 0.
• Para resolver una ecuación homogénea, se hace la sustitución $y = vx$, de donde $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$, y se reduce a una ecuación separable.

Ecuaciones Exactas

• Una Ecuación Diferencial de la forma $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$, es exacta si existe una función $u(x, y)$ tal que: $\frac{\partial u}{\partial x} = M(x, y) \quad \text{y} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = N(x, y)$.
• La condición necesaria y suficiente para que una ecuación sea exacta es: $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$.
• La solución general es $u(x, y) = C$, donde $C$ es una constante. Para encontrar $u(x, y)$, se integra $M(x, y)$ con respecto a $x$ o $N(x, y)$ con respecto a $y$, y luego se determina la función restante utilizando la otra ecuación.

Factor Integrante

• Si una Ecuación Diferencial no es exacta, a veces se puede hacer exacta multiplicándola por un factor integrante $\mu(x, y)$.$\mu(x, y)M(x, y)dx + \mu(x, y)N(x, y)dy = 0$
• El factor integrante depende de si la función es solo de $x$ o solo de $y$.

Ecuaciones Lineales

• Una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma:$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
• Se encuentra el factor integrante $\mu(x)$ definido como:$\qquad \mu(x) = e^{\int P(x) dx}$

Ecuaciones de Bernoulli

• Una ecuación de Bernoulli, tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$
• Se realiza la sustitución $v = y^{1-n}$. Entonces, $\frac{dv}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$.
• Es una ecuación lineal en $v$ que se puede resolver usando el método del factor integrante.

Análisis de Fourier

Funciones Ortogonales

• A set of functions ${\phi_n(t)}$, $n = 1, 2, 3,...$ is orthogonal on the interval $a \le t \le b$ if

$\qquad \int_a^b \phi_m(t) \phi_n(t) dt = \begin{cases} 0, & m \neq n \ K_n, & m = n \end{cases}$

• $K_n$ represents constant (energy).

Serie De Fourier

• Si se cumplen ciertas condiciones (función de Dirichlet), $f(t)$ puede expandirse en serie de Fourier:

$\qquad f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(n \omega_0 t) + b_n \sin(n \omega_0 t))$

$\qquad \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ is the coefficients.

$\qquad a_0 = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} f(t) dt$

$\qquad a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \cos(n \omega_0 t) dt$

$\qquad b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} f(t) \sin(n \omega_0 t) dt$

Lecture 24 | Optimization

Absolute Maxima and Minima

• $f(c)$ has an absolute maximum on interval $I$ if $f(c)\ge f(x)$ for all $x$ in $I$.
• $f(c)$ has an absolute minimum on interval $I$ if $f(c)\le f(x)$ for all $x$ in $I$.

Theorem for $f_x$ and $f_y$

• If $f$ is continues on a closet interval $\lbrack a,b\rbrack$. Then $f$ reaches an absolute maximum value $f(c)$ and an absolute minimum value $f(d)$ at some numbers $c$ and $d$ in $\lbrack a,b\rbrack$.
• To find the absolute values of $f$ on $\lbrack a,b\rbrack$.

1. Search for critical numbers in $(a,b)$.
2. Identify the values of $f$ at said critical numbers and at endpoints.
3. The largest of the values from step 2 is the absolute maximum value; the smallest of these values is the absolute minimum value.

Applied Optimization Problems

Read Carefully

• Draw a Diagram (If Possible)
• Introduce Notation; Assign Symbols to all Quantities that are Functions of Time.
• Express the Quantity to be Maximized or Minimized in Terms of the other Quantities.
• Reduce the number of Variables to One Variable.
• Find the Absolute Maxima or Minima of the Function from Step 5.

Antiderivatives

• $F$ = an antiderivative of $f$ on interval $I$, if $F'(x)= f(x)$.
• The generic expression fo the antiderivative of $f$ on $I$ is $F(x)+C$.

Table of antiderivatives

Learn about vector components, resultant vectors, and vector summation. Includes examples. Calculate the magnitude and angle of resultant vectors.