Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn

• Phương trình là một đẳng thức bao gồm các số và chữ cái (ẩn số) liên quan đến nhau thông qua các phép toán.
• Ví dụ: $3x - 5 = 4 + x$
• Bậc của phương trình là số mũ lớn nhất của ẩn số sau khi thực hiện tất cả các phép toán.
• Ví dụ: Biểu thức $3x - 5 = 4 + x$ có bậc 1.
• Ví dụ: Biểu thức $x^2 - 5 = 4 + x$ có bậc 2.

Giải phương trình bậc nhất

• Giải phương trình là tìm giá trị của các ẩn số mà làm cho đẳng thức trở nên đúng. Các giá trị này được gọi là nghiệm của phương trình.
• Ví dụ: Đối với phương trình: $3x - 5 = 4 + x$
  • Gom các số hạng có $x$ về một vế và các hằng số về vế còn lại: $3x - x = 4 + 5$.
  • Thực hiện các phép toán ở mỗi vế: $2x = 9$.
  • Tìm ẩn số: $x = \frac{9}{2}$.
  • Kiểm tra nghiệm bằng cách thay $x = \frac{9}{2}$ vào phương trình ban đầu.
  • $3 \cdot \frac{9}{2} - 5 = 4 + \frac{9}{2}$
  • $\frac{27}{2} - 5 = 4 + \frac{9}{2}$
  • $\frac{17}{2} = \frac{17}{2}$

Phương trình bậc hai một ẩn

• Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $a \neq 0$.
• Nghiệm của phương trình bậc hai được tìm bằng công thức: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Các dạng phương trình bậc hai

• Dạng đầy đủ: $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $a$, $b$ và $c$ khác 0.
• Dạng khuyết: $ax^2 + bx = 0$ hoặc $ax^2 + c = 0$.

Giải phương trình bậc hai dạng khuyết

• Nếu phương trình có dạng $ax^2 + bx = 0$, phân tích $x$ và đặt mỗi thừa số bằng 0.
  • Công thức: $ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$.
• Nếu phương trình có dạng $ax^2 + c = 0$, tìm $x^2$ và khai căn bậc hai.
  • Công thức: $ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Số nghiệm của phương trình bậc hai

• Số nghiệm của phương trình bậc hai phụ thuộc vào dấu của biệt thức, là biểu thức $b^2 - 4ac$ nằm trong căn bậc hai của công thức.
  • Nếu $b^2 - 4ac > 0$, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
  • Nếu $b^2 - 4ac = 0$, phương trình có một nghiệm thực kép.
  • Nếu $b^2 - 4ac < 0$, phương trình không có nghiệm thực.

Hệ phương trình tuyến tính

• Hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp hai hoặc nhiều phương trình tuyến tính với hai hoặc nhiều ẩn.
• Ví dụ: $x + y = 5$ $x - y = 1$
• Nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp các giá trị của ẩn số mà thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ.
• Ví dụ: Trong hệ phương trình trên, nghiệm là $x = 3$, $y = 2$.

Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

• Phương pháp thế: Giải một ẩn số từ một phương trình và thay vào phương trình còn lại.
• Phương pháp cộng trừ: Nhân các phương trình với các số sao cho khi cộng hoặc trừ các phương trình, một trong các ẩn số bị loại bỏ.
• Phương pháp cân bằng hệ số: Giải cùng một ẩn từ cả hai phương trình và cân hệ số của chúng.

Phân loại hệ phương trình tuyến tính

• Một hệ phương trình tuyến tính có thể được phân loại dựa trên số lượng nghiệm của nó:
  • Hệ tương thích xác định: Có một nghiệm duy nhất.
  • Hệ tương thích không xác định: Có vô số nghiệm.
  • Hệ không tương thích: Không có nghiệm.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Bất phương trình là một bất đẳng thức bao gồm các số và chữ cái (ẩn số) liên quan đến nhau thông qua các phép toán.
• Ví dụ: $3x - 5 < 4 + x$
• Giải một bất phương trình nghĩa là tìm tập hợp các giá trị của ẩn số khiến cho bất đẳng thức đó đúng. Tập hợp này được gọi là nghiệm của bất phương trình.

Tính chất của bất phương trình

• Nếu cộng hoặc trừ cùng một số vào cả hai vế của bất phương trình, bất đẳng thức không đổi.
• Nếu nhân hoặc chia cả hai vế của bất phương trình với một số dương, bất đẳng thức không đổi.
• Nếu nhân hoặc chia cả hai vế của bất phương trình với một số âm, bất đẳng thức đảo chiều.

Giải bất phương trình bậc nhất

• Giải bất phương trình bậc nhất tương tự như giải phương trình bậc nhất, có xét đến các tính chất của bất phương trình.
• Ví dụ: $3x - 5 < 4 + x$
  • Gom các số hạng có $x$ về một vế và các hằng số về vế còn lại.
  • $3x - x < 4 + 5$
  • Tính toán từng vế.
  • $2x < 9$
  • Tìm ẩn số.
  • $x < \frac{9}{2}$
  • Nghiệm là tập hợp tất cả các số thực nhỏ hơn $\frac{9}{2}$, có thể biểu diễn dưới dạng một khoảng: $(-\infty, \frac{9}{2})$.

Tài liệu này mô tả phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải. Nó bao gồm các ví dụ về phương trình bậc nhất và bậc hai, cách xác định bậc của phương trình, và các bước để giải phương trình bậc nhất.