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Questions and Answers

Qual è l'obiettivo principale delle metodologie di analisi multivariata?

  • Riassumere ed semplificare la struttura delle osservazioni. (correct)
  • Ridurre la variabilità delle singole osservazioni.
  • Analizzare esclusivamente variabili qualitative.
  • Classificare le variabili solo in base ai modelli inferenziali.

Quale definizione è corretta per i metodi di analisi dei dati?

  • Sono esclusivamente utilizzati in ambito sperimentale.
  • Sono sempre basati su modelli statistico inferenziali.
  • Rappresentano approcci euristici e intuitivi. (correct)
  • Richiedono una analisi esatta dei dati prima della rilevazione.

Come si differenziano le tecniche di analisi multivariata?

  • In base alla tipologia di variabili analizzate.
  • Secondo l'assunzione di modelli distributivi e metodi esplorativi. (correct)
  • In relazione alla loro applicazione in ambito socio-economico o sperimentale.
  • Solo per il numero di osservazioni in esame.

Quale affermazione è vera riguardo l'approccio confermativo?

<p>Condurrà la verifica sulla base di metodi statistico inferenziali. (C)</p> Signup and view all the answers

Quali sono gli argomenti alla base delle metodologie giustificate logicamente?

<p>Sono improntati su logiche intuitive anziché inferenziali. (A)</p> Signup and view all the answers

In quale contesto l'analisi dei dati è tradizionalmente applicata?

<p>Ambito socio-economico per la comprensione di dinamiche. (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è un aspetto distintivo dei modelli lineari generalizzati in analisi multivariata?

<p>Forniscono supporto per la valutazione delle interdipendenze tra variabili. (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è la relazione tra il rango delle matrici E1 ed E2 e il numero di autovalori non nulli?

<p>Il rango è sempre uguale al numero di autovalori non nulli. (B)</p> Signup and view all the answers

Cosa indica il simbolo λ1 nel contesto delle componenti canoniche?

<p>È il maggiore degli autovalori di E1 ed E2. (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è la definizione della prima correlazione canonica ρU1 V1?

<p>È il valore dell'autovalore corrispondente alla prima coppia di componenti canoniche. (D)</p> Signup and view all the answers

Come devono essere correlate le componenti U1 e U2?

<p>Devono essere incorrelate. (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è il significato dei vettori a2 e b2 in relazione alle componenti U2 e V2?

<p>Devono massimizzare la correlazione tra U2 e V2. (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è la forma della funzione lagrangiana nel problema di massimo vincolato?

<p>£(a(2), µ1, µ2) = a0(2) S(b) a(2) - µ1 (a0(2) Sa(2) - 1) - 2µ2 a0(1) Sa(2) (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il moltiplicatore di Lagrange µ1 nella soluzione del problema?

<p>Il secondo maggiore autovalore della matrice S −1 S(b) (A)</p> Signup and view all the answers

Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo al sistema di equazioni per trovare la soluzione?

<p>La derivata parziale rispetto ad a(2) deve essere uguale a zero. (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa indica l'equazione S −1 S(b) a(2) = µ1 a(2)?

<p>µ1 è un autovalore della matrice S −1 S(b). (A)</p> Signup and view all the answers

Cosa caratterizza le funzioni discriminanti lineari nel contesto proposto?

<p>Il numero di funzioni discriminanti è legato al rango della matrice S −1 S(b). (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è il significato di a0(2) Sa(2) = 1 nella soluzione?

<p>Indica che a(2) è normalizzato. (C)</p> Signup and view all the answers

In che modo si determina il valore di t nella scelta delle funzioni discriminanti?

<p>t è scelto in base al potere discriminante delle funzioni. (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è una condizione necessaria per avere una soluzione per il massimo vincolato?

<p>Gli autovalori di S −1 S(b) devono essere positivi. (A)</p> Signup and view all the answers

Quale dei seguenti scienziati ha contribuito alla massimizzazione delle varianze delle variabili trasformate?

<p>T.L. Kelly (B), K.Pearson (C), H. Hotelling (D)</p> Signup and view all the answers

Qual è la condizione necessaria affinché il vettore a1 ottimizzi la varianza Var(e1)?

<p>a01 a1 = 1 (C)</p> Signup and view all the answers

In quale anno è stata formulata la versione attuale della teoria delle componenti principali?

<p>1933 (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è la matrice utilizzata per sintetizzare media e varianze nelle componenti principali?

<p>Matrice di covarianze (B)</p> Signup and view all the answers

Quale espressione rappresenta la varianza di e1 in relazione ai coefficienti di a1?

<p>Var(e1) = a01 Sa1 (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è il principale obiettivo di Galton nel suo studio del 1869?

<p>Classificare soggetti criminali (C)</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per combinazione lineare nelle componenti principali?

<p>L'uso di coefficienti costanti per formare nuovi vettori (B)</p> Signup and view all the answers

Qual è la formula che descrive il problema di massimo vincolato per la prima componente principale?

<p>maxa1 a01 Sa1, a01 a1 = 1 (A)</p> Signup and view all the answers

Quale affermazione riguardo alla varianza Var(e1) è corretta?

<p>La varianza è massimizzata quando a1 ha norma unitaria (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è la dimensione dell'universo campionario in analisi delle componenti principali?

<p>Corrisponde al numero di variabili nel dataset (C)</p> Signup and view all the answers

Qual è la funzione lagrangiana per la prima componente principale?

<p>£(a1, λ) = a01 Sa1 - λ(a01 a1 - 1) (D)</p> Signup and view all the answers

Quale tra le seguenti affermazioni è vera riguardo la varianza massimizzata?

<p>La varianza per e1 è equivalente a λ a01 a1. (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è la condizione di incorrelazione necessaria per la seconda componente principale?

<p>a2 Sa1 = 0 (D)</p> Signup and view all the answers

Quale equazione deve essere soddisfatta per massimizzare la varianza di e2?

<p>a02 a2 = 1 (D)</p> Signup and view all the answers

Quale espressione rappresenta la derivata parziale della funzione lagrangiana rispetto a a2?

<p>2Sa2 - 2λa2 + νSa1 = 0 (D)</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta λ nella funzione lagrangiana?

<p>Un moltiplicatore di Lagrange per i vincoli. (A)</p> Signup and view all the answers

Qual è il risultato di a01 Sa1 correlato ad un autovettore?

<p>È pari all'autovalore associato. (A)</p> Signup and view all the answers

Che ruolo gioca ν nella funzione lagrangiana per la seconda componente principale?

<p>Impedisce la correlazione con Sa1. (A)</p> Signup and view all the answers

Quale è l'autovalore maggiormente associato alla prima componente principale?

<p>λ1 (D)</p> Signup and view all the answers

Quale di queste affermazioni non descrive correttamente la funzione lagrangiana?

<p>Minimizza la varianza tra le componenti. (B)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Analisi multivariata

Analisi statistica che considera simultaneamente diverse variabili di un insieme di dati.

Obiettivi analisi multivariata

Riepilogo, semplificazione, ordinamento/raggruppamento di dati, studio delle interdipendenze variabili, sviluppo e verifica di ipotesi.

Tecniche analisi multivariata

Metodi che si basano o meno su un modello distributivo per l'analisi.

Approccio esplorativo

Analisi che cerca di comprendere i dati senza assunzioni predefinite, basandosi su metodi intuitivi.

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Approccio confermativo

Analisi che verifica ipotesi predefinite sulla base di metodi statistici.

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Analisi discriminante

Tecnica per differenziare gruppi di dati sulla base di caratteristiche diverse.

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Scelta approccio analisi

Dipende dagli obiettivi del ricercatore e dalle informazioni disponibili sulle distribuzioni variabili.

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Funzione Lagrangiana (eq. 7.4)

Funzione che include i termini da massimizzare e i vincoli imposti nella ricerca della direzione di massima varianza.

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Sistema di equazioni (eq. 7.5)

Due equazioni che derivano dalla funzione Lagrangiana e che permettono di trovare i coefficienti della prima componente principale.

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a1: autovettore

Vettore che rappresenta la direzione della prima componente principale, associato all'autovalore λ della matrice S.

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Varianza spiegata (eq. 7.6)

La varianza della prima componente principale è uguale all'autovalore λ associato all'autovettore a1.

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Prima componente principale (e1)

Combinazione lineare delle variabili originali, definita dall'autovettore a1 associato al più grande autovalore di S.

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Vincoli per la seconda componente principale

La seconda componente principale deve essere incorrelata con la prima e avere norma unitaria.

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Funzione Lagrangiana (eq. 7.9)

Funzione che include i termini da massimizzare, il vincolo di unitarietà e il vincolo di incorrelazione con la prima componente principale.

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Sistema di equazioni (eq. 7.10)

Tre equazioni che derivano dalla funzione Lagrangiana e che permettono di trovare i coefficienti della seconda componente principale.

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a2: autovettore

Vettore che rappresenta la direzione della seconda componente principale, associato all'autovalore λ2 della matrice S.

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Seconda componente principale (e2)

Combinazione lineare delle variabili originali, definita dall'autovettore a2 associato al secondo autovalore più grande di S.

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Analisi delle componenti principali

Un metodo di analisi multivariata che cerca di riassumere informazioni da un set di variabili correlate in un numero inferiore di variabili non correlate, chiamate componenti principali.

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Scopo di Galton (1869)

Classificare soggetti criminali tramite 12 misure antropometriche correlate.

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Massimo delle varianze trasformate

La teoria delle componenti principali cerca di massimizzare la varianza delle variabili trasformate, ottenendo così la massima quantità di informazioni da esse.

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Contributo di K. Pearson (1902)

Fornì argomentazioni teoriche a sostegno della massimizzazione delle varianze delle variabili trasformate.

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Contributo di T.L. Kelly

Applicò la massimizzazione delle varianze in ambito psicometrico ed educazionale, dimostrando la sua utilità pratica.

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H. Hotelling (1933)

Sviluppò la versione attuale della teoria delle componenti principali.

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Matrice X

Rappresentazione di n osservazioni indipendenti k-dimensionali, dove ogni riga corrisponde a un'osservazione e ogni colonna a una variabile.

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Vettore e1

Combinazione lineare delle k colonne della matrice X, ottenuta tramite la moltiplicazione di X per il vettore di coefficienti a1.

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Varianza di e1

Misura la dispersione dei dati nel vettore e1, calcolata come a01 Sa1, dove a1 è il vettore dei coefficienti e S la matrice di varianze e covarianze campionarie.

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Problema di massimo vincolato

Trovare il vettore a1 che massimizza la varianza di e1, sotto il vincolo che la norma di a1 sia unitaria (a01 a1 = 1).

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r(E1) e r(E2)

Il rango delle matrici E1 ed E2 è uguale al rango della matrice SXY, che a sua volta è minore o uguale al minimo tra il rango di SX e SY.

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λ1, a1, b1

λ1 è il più grande autovalore delle matrici E1 ed E2, a1 e b1 sono gli autovettori associati a λ1. Questi vettori individuano le combinazioni lineari delle colonne di X e Y che sono massimamente correlate tra loro.

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Prima correlazione canonica

La correlazione tra le prime componenti canoniche U1 e V1, calcolata come il prodotto scalare tra i vettori U1 e V1.

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Coppie componenti canoniche successive

Si calcolano altre componenti canoniche, U2 e V2, sempre massimizzando la correlazione tra loro e assicurando che siano incorrelate alle precedenti.

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Incorrelazione tra componenti canoniche

Le componenti canoniche successive devono essere incorrelate tra loro, garantendo che le informazioni catturate da ogni componente siano distinte.

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Funzione discriminante lineare

Una funzione che mappa i dati in uno spazio a dimensioni inferiori, separando gruppi di osservazioni in base a caratteristiche distintive.

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Autovettore a(2)

Un vettore che rappresenta la direzione di massima varianza nella seconda funzione discriminante lineare.

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Autovalore λ2

Un valore che indica il potere discriminante della seconda funzione discriminante lineare, ovvero la varianza spiegata da questa funzione.

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Matrice S −1 S(b)

Una matrice che contiene informazioni sulla varianza e sulle covarianze delle variabili, ponderate dal vettore b.

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Rango della matrice S −1 S(b)

Il numero massimo di funzioni discriminanti lineari indipendenti che possono essere estratte dalla matrice, pari al numero di autovalori non nulli.

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Potere discriminante

La capacità di una funzione discriminante lineare di separare i gruppi di osservazioni.

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Funzioni discriminanti lineari

Un set di funzioni che utilizzano combinazioni lineari delle variabili originali per separare gruppi di osservazioni in base a caratteristiche distintive.

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Analisi discriminante lineare (LDA)

Un metodo di analisi multivariata che utilizza funzioni discriminanti lineari per classificare osservazioni in gruppi predefiniti.

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Interpretazione degli autovalori

I valori degli autovalori indicano quanto bene ogni funzione discriminante lineare riesce a separare i gruppi di osservazioni. Autovalori più grandi indicano un maggiore potere discriminante.

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Study Notes

Analisi Discriminante

  • L'analisi statistica multivariata comprende un insieme di metodologie statistiche che permettono di analizzare simultaneamente le misurazioni di diverse caratteristiche (qualitative o quantitative) di un gruppo di individui.
  • Gli obiettivi principali delle metodologie di analisi multivariata si riassumono nella sintesi delle osservazioni, semplificazione della loro struttura (ridurre il numero di variabili), ordinamento e raggruppamento (classificazione) delle osservazioni, studio delle interdipendenze tra le variabili e formulazione e verifica di ipotesi operative.
  • Le diverse tecniche di analisi multivariata possono essere distinte a seconda che facciano o meno riferimento ad un modello distributivo assunto per le osservazioni e alla base degli sviluppi inferenziali.
  • Le tecniche legate allo studio della dipendenza (modello lineare generale, modelli lineari generalizzati) si contrappongono a un insieme di metodi esplorativi (euristico-intuitivi) di analisi dei dati.
  • L'approccio esplorativo porta a procedure euristiche, di carattere intuitivo- analogico, i cui risultati devono essere controllati e confermati in un secondo momento (logica del trovare).
  • L'approccio confermativo, invece, verifica le assunzioni effettuate prima della rilevazione dei dati tramite metodi statistici inferenziali (logica del giustificare).
  • La scelta di un approccio dipende dagli obiettivi del ricercatore e dalle informazioni disponibili sulla distribuzione delle variabili in esame.

Funzione Discriminante Lineare di Fisher

  • L'analisi discriminante si riferisce a un insieme di metodologie che, conside- rando un universo campionario k-dimensionale X diviso in p gruppi o sottopopolazioni X1, ..., Xp, assegna una generica osservazione x ad uno dei p gruppi.
  • Il metodo di Fisher è un metodo non parametrico.
  • Il training set (learning set) è formato da n osservazioni k-dimensionali raggruppate in p categorie.
  • L'assegnazione di un'osservazione non classificata x dipende da una combinazione lineare W = a'X delle k componenti della variabile X, tale da massimizzare la separazione (o discriminazione) tra i p campioni.
  • Il criterio si basa sulla massimizzazione della differenza tra le medie di W nei p campioni.

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